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AP微积分AB:利用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

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例子问题

问题1:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

一个粒子以恒定的初速度沿直线运动。然后粒子受到一种力的作用，产生与时间相关的加速度，加速度是时间的函数:

a(t)=(a+b)t

10秒后，粒子的速度等于米每秒。用常数求初速度，而且

单位都是S.I.(米、秒、米每秒等)。

可能的答案:

v_o =k-50(a+b)

$v_o =\frac{k}{a+b}-50a$

$v_o =\frac{b}{a}+k$

v_o =b-5(a+k)

$v_o =\frac{k}{a}+b$

正确答案:

v_o =k-50(a+b)

解释：

a(t)=(a+b)t

首先通过对加速度函数积分来求速度函数。

$v(t)=\int a(t)dt = \int (a+b)tdt=\frac{1}{2}(a+b)t^2+v_o$

我们使用 v_o 从函数开始积分的常数 v(t) 速度和初始速度是多少 t = 0 ，速度等于积分常数。

$v(t)=\frac{1}{2}(a+b)t^2+v_o$

在 t = 10 我们知道速度等于秒．
$v(t=10)=k\: \: \: \: \: \:\rightarrow\: \: \: \: \: \:\frac{1}{2}(a+b)100+v_o =k$

50(a+b)+v_o =k

v_o =k-50(a+b)

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问题2:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

求函数的平均值 f(x)=cosx 的时间间隔 $[0, \pi].$

可能的答案:

$\frac{2}{\pi}$

$\frac{1}{\pi}$

$\frac{-1}{\pi}$

正确答案:

解释：

函数在给定区间内的平均值 [a,b] 由以下函数给出:

$\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx.$

现在，让我们简单地输入我们的值和函数:

$\frac{1}{\pi-0}\int_{0}^{\pi}-cosxdx=\frac{1}{\pi}[sin(\pi)-sin(0)]=\frac{0}{\pi}*0=0.$

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问题3:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

确定一个速度由方程给出的质点的位置函数

v(t)=t^2+t+16

它的初始位置是10。

可能的答案:

$\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+16t+10$

${t^3}+{t^2}+16t+10$

$\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+16t+C$

$\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+10$

正确答案:

$\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+16t+10$

解释：

描述任何物体的位置函数是速度函数的不定积分(换句话说，速度是位置的导数)。

首先，我们对速度函数积分:

$s(t)=\int v(t)dt= \int (t^2+t+16)dt=\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+16t+C$

积分规则如下:

$\int x^n dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

现在，为了确定积分常数，我们用已知的初始条件，

s(0)=10

把这个代入函数，我们得到

0+0+0+C=10

C=10

我们的最终答案是

$\frac{t^3}{3}+\frac{t^2}{2}+16t+10$

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问题1:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

描述航天器加速度相对于时间的函数为

a(t)=4t

确定描述航天器位置的函数给定初始加速度为0，初始速度为3，初始位置为9。

可能的答案:

2t^2+3

$\frac{2t^3}{3}+3t+9$

$\frac{2t^3}{3}+3t$

$\frac{2t^3}{3}+9$

正确答案:

$\frac{2t^3}{3}+3t+9$

解释：

为了从加速度函数得到位置函数，我们对加速度函数进行积分得到速度函数，再进行积分得到位置函数:

$v(t)=\int a(t)dt=\int 4t dt= 2t^2+C$

积分是用以下规则找到的:

$\int x^n=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

为了找到积分常数，我们使用给定的初速度条件:

v(0)=3=0+C=C

现在，用已知值替换C后，我们对速度函数进行积分，得到位置函数:

$s(t)= \int v(t)dt=\int( 2t^2+3 )dt = \frac{2t^3}{3}+3t+C$

同样的积分规则如上所述。

我们也使用相同的程序来求解C，只是这次使用了初始位置条件:

s(0)=9=0+0+C=C

我们的最终答案是

$s(t)=\frac{2t^3}{3}+3t+9$

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问题5:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

给定一个粒子在某时刻的加速度是 a(t)=4 ．与初始条件 v(0)=4 而且 p(0)=-4 在哪里 v(t) 速度在时间上是多少, p(t) 粒子在时间点的位置是多少．

找到时间点的位置．

可能的答案:

p(t)=2t^2+4t-4

p(t)=2t^2

p(t)=t^2+t+4

p(t)=2t^2-4t

p(t)=2t^2+t-4

正确答案:

p(t)=2t^2+4t-4

解释：

首先要建立以下关系

p''(t)=a(t) 而且 p'(t)=v(t)

我们现在可能注意到这一点

$\int a(t)dt=v(t)+C$ 或 $\int4dt=4t+C=v(t)$

自 v(t)=3t+C

我们必须代入初始条件 v(0)=4

所以新的速度方程是 v(t)=4t+4

现在我们同样可以对速度方程积分来求位置。

$\int(4t+4)dt=2t^2+4t+C$

代入第二个初始条件 p(0)=-4

我们发现最后的方程是:

p(t)=2t^2+4t-4

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问题6:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

给出以下信息，求速度函数:

加速度函数为 $a(t)=3t+\cos(t)$ ；

v(0)=3

可能的答案:

$\frac{3t^2}{2}+\sin(t)+C$

$\frac{3t^2}{2}-\sin(t)+3$

$\frac{3t^2}{2}+\sin(t)+3$

$\frac{t^2}{2}+\sin(t)+3$

正确答案:

$\frac{3t^2}{2}+\sin(t)+3$

解释：

为了找到速度函数，我们对加速度函数积分(加速度是速度的不定积分):

$v(t)=\int a(t)dt=\int [3t +\cos(t)]dt =\frac{ 3t^2}{2}+\sin(t)+C$

所用的积分规则是

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ ， $\int \cos(t)dt= \sin(t)+C$

为了求解积分常数，我们代入给定的初始条件:

v(0)=3=0+0+C

3=C

我们的最终答案是

$v(t)=\frac{3t^2}{2}+\sin(t)+3$

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问题7:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

如果初始位置是0，那么位置函数是什么速度函数是 v(t)=10t+1 ?

可能的答案:

$\frac{5t^2}{2}+t$

5t^2+t

5t^2+1

正确答案:

5t^2+t

解释：

为了找到位置函数，我们必须对速度函数进行积分，因为速度是位置的不定积分:

$s(t)=\int v(t) dt = \int (10t+1)dt = 5t^2+t+C$

积分规则如下:

$\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$

最后，利用初始条件求解积分常数:

s(0)=0=0+0+C

C=0

我们的最终答案是

s(t)=5t^2+t

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问题8:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

原点处的粒子的初始速度是．如果加速度是 a = -24t^2 + 6t - 8 ， 1秒后找到粒子的位置。

可能的答案:

18m

32m

27m

24m

29m

正确答案:

27m

解释：

在这个问题中，让 s(t) 表示粒子的位置和 v(t) 表示速度，我们知道 s''(t) = v'(t) = a(t) ．整合和回溯我们有，

$v(t) = \int a(t)dt = \int (-24t^2 + 6t - 8)dt = -8t^3 + 3t^2 -8t + C$

代入初始条件， v(0) = 32 ，我们马上就能看出 C = 32 ．

再次重复此过程 s(t) ，我们发现

$s(t) = \int v(t)dt = \int (-8t^3 + 3t^2 -8t +32)dt = -2t^4 + t^3 - 4t^2 + 32t + C$

代入初始条件， s(0) = 0 (我们从原点开始)我们看到 C = 0 ．这就得到了最终的方程

s(t) = -2t^4 + t^3 - 4t^2 + 32t ．这个问题要求 s(1) 这是简单的 s(t) = -2(1)^4 + (1)^3 - 4(1)^2 + 32(1) = -4 + 1 - 4 + 32 = 27

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问题9:用初始条件求特定的不定积分，包括对直线运动的应用

求出满足特定条件的积分 $(\frac{\pi}{2}, 4)$

$\int4sin(t)-12cos(t)+3t^2dt$

可能的答案:

y=-4tcos(t)-12tsin(t)+t^3

y=4cos(t)+12sin(t)+t^3

y=-16tan(t)+t^3+12.12

y=-4cos(t)-12sin(t)+t^3+12.12

正确答案:

y=-4cos(t)-12sin(t)+t^3+12.12

解释：

求出满足特定条件的积分 $(\frac{\pi}{2}, 4)$

$\int4sin(t)-12cos(t)+3t^2dt$

为了解决这个问题，我们需要回忆一下积分也被称为不定积分。这意味着我们可以通过颠倒积分规则来计算积分。

此外，为了使用初始条件找到具体的答案，我们需要在最后找到我们的“c”。

因此，我们可以有以下规则。

$\int sin(t)dt = -cos(t)+c$

$\int cos(t)dt = sin(t)+c$

$\int t^ndt=\frac{t^{n+1}}{n+1}+c$

使用这些规则，我们可以找到我们的答案:

$\int4sin(t)-12cos(t)+3t^2dt$

将成为:

$-4cos(t)-12sin(t)+\frac{3t^3}{3}+c=-4cos(t)-12sin(t)+t^3+c$

我们的不定积分是:

-4cos(t)-12sin(t)+t^3+c

现在，我们来求c，首先让上面的表达式等于y

y= -4cos(t)-12sin(t)+t^3+c

接下来,插入求y和t，然后解出c

$4= -4cos(\frac{\pi}{2})-12sin(\frac{\pi}{2})+(\frac{\pi}{2})^3+c$

看起来有点乱，但我们可以把它清理干净

$4= 0-12+3.88+c\rightarrow 4=-8.12+c\rightarrow c=12.12$

现在，要解决这个问题，只需将c替换为12.12

y=-4cos(t)-12sin(t)+t^3+12.12

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