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AP微积分AB:函数的和、乘积和商的导数规则

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例子问题

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例子问题1:函数的和、积和商的导数规则

求函数的导数，

$y =x^2\sin(3x)$

可能的答案:

$\frac{dy}{dx} =3x^2\cos(3x)+2x\sin(3x)$

$\frac{dy}{dx} =6x\cos(3x)$

$\frac{dy}{dx} =x[3x\cos(3x)+2]$

$\frac{dy}{dx} =-3x^2\cos(x)+2x\sin(x)$

$\frac{dy}{dx} =x^2\cos(3x)+2x\cos(3x)$

正确答案:

$\frac{dy}{dx} =3x^2\cos(3x)+2x\sin(3x)$

解释：

$y =x^2\sin(3x)$

求导两边，然后用乘法法则

$\frac{dy}{dx}=\frac{d}{dx}[x^2\sin(3x)]$ (1）

$\frac{dy}{dx}= x^2\frac{d}{dx}\sin(3x)+ \sin(3x)\frac{d}{dx}x^2$

求每一项的导数。对于第一项，

$=x^2\underbrace{\frac{d}{dx}\sin(3x)} + \sin(3x)\frac{d}{dx}x^2$ （2）

应用链式法则，

$\frac{d}{dx}sin(3x)=3\cos(3x)$

那么现在方程(2)的第一项可以写成，

$x^2\frac{d}{dx}\sin(3x)=x^2[3\cos(3x)]=3x^2\cos(3x)$ （3）

式(2)中的第二项很简单，这就是的乘积 $\sin(3x)$ 乘以的导数 x^2 ，

$\sin(3x)\frac{d}{dx}x^2 = 2x\sin(3x)$ （4）

结合式(3)和式(4)来写出导数，

$\frac{dy}{dx} =3x^2\cos(3x)+2x\sin(3x)$

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例子问题1:函数的和、积和商的导数规则

找到导数。

$\sin (x)x^2$

可能的答案:

$\cos (x)x+2x\sin (x)$

$\cos (x)x^2+2x\sin (x)$

$\cos (x)x^2+2x^2\sin (x)$

$\sin (x)x^2+2x\sin (x)$

正确答案:

$\cos (x)x^2+2x\sin (x)$

解释：

用乘法法则求导数。

$\cos (x)x^2+2x\sin (x)$

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例子问题1:函数的和、积和商的导数规则

找到导数。

x^3+4x^2-x

可能的答案:

3x^2+8x-1

4x^4

x^2+4x

x^2+4x-1

正确答案:

3x^2+8x-1

解释：

用幂法则求导数。

$\frac{d}{dx}x^3=3x^2$

$\frac{d}{dx}4x^2=8x$

$\frac{d}{dx}-x=-1$

因此，导数为 3x^2+8x-1

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示例问题4:函数的和、积和商的导数规则

找到 f'(x) 鉴于 $f(x)=3sin(x^2)*e^{2x-1}$

可能的答案:

$f'(x)=6e^{2x-1}(xcos(x^2)+sin(x^2))$

$f'(x)=6e^{2x-1}(cos(2x)+sin(x^2))$

$f'(x)=6xcos(x^2)*e^{2x-1}+3sin(x^2)*(2x-1)e^{2x-2}$

$f'(x)=\frac{6e^{2x-1}(xcos(x^2)*sin(x^2))}{e^{4x-2}}$

$f'(x)=12xe^{2x-1}(cos(x^2))$

正确答案:

$f'(x)=6e^{2x-1}(xcos(x^2)+sin(x^2))$

解释：

这里我们用乘法法则: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(F(x)\cdot G(x))=F'(x)\cdot G(x)+F(x)\cdot G'(x)$

让 F(x)=3sin(x^2) 而且 $G(x)=e^{2x-1}$

然后 $F'(x)=3cos(x^2)\cdot2x$ (使用链式法则)

而且 $G'(x)=e^{2x-1}\cdot2$ (使用链式法则)

把这些值代入方程，得到

$f'(x)=3cos(x^2)\cdot2x\cdot e^{2x-1}+3sin(x^2)\cdot e^{2x-1}\cdot2$

通过组合相似项来简化

$f'(x)=6xcos(x^2)\cdot e^{2x-1}+6sin(x^2)\cdot e^{2x-1}$

然后拿出一个 $6e^{2x-1}$ 从每一项得到最终答案

$f'(x)=6e^{2x-1}(xcos(x^2)+sin(x^2))$

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示例问题5:函数的和、积和商的导数规则

如果 $f(x)=\pi\sin(ex)$ 、评估 f'(0) ．

可能的答案:

$e\pi$

$\pi$

正确答案:

$e\pi$

解释：

求导数的时候，要注意 $e,\pi$ 是常量(而不是变量)，并按常量处理。

$f'(x)=\pi\cos(ex)\times (ex)'=e\pi\cos(ex)$ ．

因此

$f'(0)=e\pi\cos(e(0))=e\pi$ ．

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例子问题2:函数的和、积和商的导数规则

如果 f(x)=1+x+x^2+x^3+x^4 、评估 f'(2)

可能的答案:

正确答案:

解释：

的表达式 f'(x) ，我们可以求导 f(x) 使用求和规则。

f'(x)=0+1+2x+3x^2+4x^3 ．

替换等于这个方程

f'(2) =0+1+4+12+32

=49 ．

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示例问题7:函数的和、积和商的导数规则

如果 $f(x)=\frac{x\tan^{-1}(x)}{\ln(x)}$ ,找 f'(x) ．

可能的答案:

$\frac{\ln(x)(\frac{1}{1+x^2}+\tan^{-1}x)-\tan^{-1}x}{(\ln(x))^2}$

$\frac{\ln(x)(\frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1}x)-\tan^{-1}x}{(\ln(x))^2}$

$\frac{\frac{1}{x}(\frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1}x)-\tan^{-1}x}{\ln(x^2)}$

$\frac{\ln(x)(\frac{1}{1+x^2}+\tan^{-1}x)-\tan^{-1}x}{\ln(x^2)}$

$\frac{\ln(x)(\frac{x+1}{1+x^2})-\tan^{-1}x}{\ln(x^2)}$

正确答案:

$\frac{\ln(x)(\frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1}x)-\tan^{-1}x}{(\ln(x))^2}$

解释：

找到 f'(x) ，我们需要使用除法定则; $\frac{gf'-fg'}{g^2}$ ．

$f(x)= \frac{x\tan^{-1}x}{\ln(x)}$ ．开始

$f'(x)= \frac{(\ln(x))(x\tan^{-1}x)'-(x\tan^{-1}x)(\ln(x))'}{(\ln(x))^2}$ ．使用除法法则。

$= \frac{(\ln(x))(x(\frac{1}{1+x^2})+1(\tan^{-1}x))-(x\tan^{-1}x)(\frac{1}{x})}{(\ln(x))^2}$ ．用除法定则求导。的导数 $x\tan^{-1}x$ 使用乘法法则。

$=\frac{\ln(x)(\frac{x}{1+x^2}+\tan^{-1}x)-\tan^{-1}x}{(\ln(x))^2}$ ．简化以匹配正确答案。

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示例问题8:函数的和、积和商的导数规则

求以下方程的导数:

$h(x) = \sin(x)\cos(x)$

可能的答案:

$\cos ^{2}(x)$

$\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)$

其他答案都没有

$-\sin(x)\cos(x)$

$\cos ^{2}(x)+\sin^{2}(x)$

正确答案:

$\cos^{2}(x)-\sin^{2}(x)$

解释：

因为这个问题包含两个不能再简化的函数相乘，它需要乘积法则，它说明了这一点 $\frac{d}{dx}(f(x)g(x)) = f{}'(x)g(x) + f(x)g{}'(x)$ ．

通过使用这个规则，我们得到了答案:

$\cos(x)\cos(x) + \sin(x)(-\sin (x))$

通过简化，我们得到导数等于

$\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)$ ．

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示例问题9:函数的和、积和商的导数规则

$\begin{align*}&\text{Calculate the derivative of the function}\\&-\frac{(114cos(19x))}{x^{20}}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{120}{x^{21}}- 361sin(19x)$

$-\frac{ (43320cos(19x))}{x^{21}}-\frac{ (43320sin(19x))}{x^{20}}$

$\frac{(2280cos(19x))}{x^{21}}+\frac{ (2166sin(19x))}{x^{20}}$

$-\frac{(43320sin(19x))}{x^{21}}$

正确答案:

$\frac{(2280cos(19x))}{x^{21}}+\frac{ (2166sin(19x))}{x^{20}}$

解释：

$\begin{align*}&\text{The function that we have been given can be seen as two smaller functions}\\&\text{multiplied together, the first being: }cos(19x)\\&\text{and the second being: }\frac{1}{x^{20}}\\&\text{With the product scaled by }-114\\&\text{To perform the derivative, }\text{ we'll wish to use the product rule, }d[uv]=udv+vdu\\&\text{along with the following:}\\&d[cos(ax)]=-asin(ax)dx\\&d[x^a]=ax^{a-1}dx\\&\text{From the above we can continue:}\\&u=cos(19x);du=-19sin(19x)\\&v=\frac{1}{x^{20}};dv=-\frac{20}{x^{21}}\\&\text{We can then combine these terms (Don't forget the scalar!)}\\&\text{So the derivative is:}\\&\frac{(2280cos(19x))}{x^{21}}+\frac{ (2166sin(19x))}{x^{20}}\end{align*}$

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示例问题10:函数的和、积和商的导数规则

$\begin{align*}&\text{Take the derivative with respect to }x\text{ of the function}\\&y=-\frac{(380tan(17x))}{2^{(20x)}}\end{align*}$

可能的答案:

$\frac{(7600tan(17x)ln(2))}{2^{(20x)}}-\frac{ (380\cdot (17tan(17x)^{2} + 17))}{2^{(20x)}}$

$\frac{(20ln(2)\cdot (6460tan(17x)^{2} + 6460))}{2^{(20x)}}$

$\frac{(380ln(2))}{2^{(20x)}}+ 340tan(17x)^{2} + 340$

$\frac{(7600\cdot (17tan(17x)^{2} + 17))}{2^{(20x)}}+\frac{ (129200tan(17x)ln(2))}{2^{(20x)}}$

正确答案:

$\frac{(7600tan(17x)ln(2))}{2^{(20x)}}-\frac{ (380\cdot (17tan(17x)^{2} + 17))}{2^{(20x)}}$

解释：

$\begin{align*}&\text{The function that we have been given can be seen as two smaller functions}\\&\text{multiplied together, the first being: }tan(17x)\\&\text{and the second being: }\frac{1}{2^{(20x)}}\\&\text{With the product scaled by }-380\\&\text{To perform the derivative, }\text{ we'll wish to use the product rule, }d[uv]=udv+vdu\\&\text{along with the following:}\\&d[tan(ax)]=\frac{adx}{cos^2(ax)}=(atan^2(ax)+a)dx\\&d[b^{ax}]=ab^{ax}ln(b)sx\\&\text{From the above we can continue:}\\&u=tan(17x);du=17tan(17x)^{2} + 17\\&v=\frac{1}{2^{(20x)}};dv=-\frac{(20ln(2))}{2^{(20x)}}\\&\text{We can then combine these terms (Don't forget the scalar!)}\\&\text{So the derivative is:}\\&\frac{(7600tan(17x)ln(2))}{2^{(20x)}}-\frac{ (380\cdot (17tan(17x)^{2} + 17))}{2^{(20x)}}\end{align*}$

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