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代数2:解方程

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例子问题

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例子问题1:三变量线性系统

解这个方程组。

7x+4y+9z=0

8x-3y-6z=12

2x-y-3z=5

可能的答案:

x=1 ， y=2 ， $z=-\frac{5}{3}$

$x=\frac{1}{2}$ ， $y=\frac{3}{2}$ ， z=-3

x=-2 ， y=-2 ， z=2

x=-1 ， y=2 ， $z=-\frac{5}{3}$

x=5 ， y=-9 ， z=3

正确答案:

x=1 ， y=2 ， $z=-\frac{5}{3}$

解释：

方程1: 7x+4y+9z=0

方程2: 8x-3y-6z=12

方程3: 2x-y-3z=5

把第一个和第二个方程的项加在一起会得到 15x+y+3z=12 ．

然后，把它加到第三个方程，这样y和z项就消去了。你会得到 17x=17 ．

这告诉我们x = 1。把x = 1代回方程组。

7+4y+9z=0

8-3y-6z=12

2-y-3z=5

现在，我们可以用代换法来解决剩下的问题。我们用第三个方程来解y。

2-y-3z=5

-y=3z+5-2

y=-3z-3

把这个y方程代入第一个方程(或者第二个方程;没关系)来解出z。

7+4y+9z=0

7+4(-3z-3) +9z=0

7-12z-12+9z=0

-5-3z=0

$z=-\frac{5}{3}$

我们可以用这个z值求出y

y=-3z-3

$y=-3\left ( -\frac{5}{3}\right )-3$

y=2

解集是x = 1 y = 2 z = -5/3。

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例子问题2:求解方程

解出： $x^{2}-144=0$

可能的答案:

x=10,-14

x=12,-12

x=8,-4

x=14,-14

正确答案:

x=12,-12

解释：

要解决这个问题，我们可以先加上 144 方程的每一边都让步 $x^{2}=144$

然后两边同时开根号得到 $\sqrt{x^{2}}=\sqrt{144}$

然后我们计算根号下 144 这是 $x=\pm12$ ．

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示例问题3:求解方程

解这个方程组：

2x + y = 12

x - 3y = 13

可能的答案:

x = 11

x = 1

x = 9

x = 4

x = 7

正确答案:

x = 7

解释：

上面的方程两边同时乘以3，然后加上第二个方程消去术语:

2x + y = 12

$3\cdot \left (2x + y \right )= 3\cdot 12$

6x+3y = 36

$\underline{x - 3y = 13}$

$7x\;\;\;\; \; =49$

$7x \div 7 =49 \div 7$

x = 7

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示例问题4:求解方程

解出．

$y-7=\frac{4x+6y}{3}$

可能的答案:

$y=-\frac{4}{3}x-7$

$y=\frac{4}{3}x-7$

$y=-\frac{2}{3}x-7$

y=-{3}x-7

$y=\frac{2}{3}x-7$

正确答案:

$y=-\frac{4}{3}x-7$

解释：

$y-7=\frac{4x+6y}{3}$

两边同时乘以3:

$\frac{3}{1}(y-7)=(\frac{4x+6y}{3})\frac{3}{1}$

3(y-7)={4x+6y}

分发:

3y-21={4x+6y}

减去从双方:

-21=4x+6y-3y

添加两项相加，相减从双方:

-4x-21=3y

两边同时除以：

$\frac{-4x-21=3y}{3}$

简化:

$y=-\frac{4}{3}x-7$

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例子问题1:如何找到解集

解出：

x(x - 2) = x^2 -8

可能的答案:

正确答案:

解释：

把x分配到括号中:

x²2 x = x²- 8

减去x²从双方:

2 x = 8

两边同时除以-2

x = 4

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例子问题481:单变量代数基础

解出：.

18x^3 - 8x = 0

可能的答案:

$\left \{ \frac{3}{2}, 0, -\frac{3}{2} \right\}$

$\left \{-\frac{2}{3}, \frac{2}{3} \right \}$

$\left \{-\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3} \right \}$

$\left \{ - \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right\}$

正确答案:

$\left \{-\frac{2}{3}, 0, \frac{2}{3} \right \}$

解释：

首先将表达式进行因子提取：

18x^3 - 8x = 0

2x(9x^2-4) = 0

将括号中的表达式因式分解，因为它是平方的差:

2x(3x+2)(3x-2)= 0

令每一项都等于0，并解出x的值:

$2x=0 \rightarrow x=0$

$3x+2=0\rightarrow x=-\frac{2}{3}$

$3x-2=0\rightarrow x=\frac{2}{3}$

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例子问题# 7:求解方程

解方程组。

4x+y=16

2x+3y=18

可能的答案:

(-4,3)

(4,3)

其他的答案都不对。

(-3,4)

(3,4)

正确答案:

(3,4)

解释：

隔离在第一个方程中。

y=16-4x

插头代入第二个方程．

2x+3(16-4x)=18

2x+48-12x=18

-10x+48=30

-10x=-30

x=3

插头代入第一个方程．

4(3)+y=16

12+y=16

y=4

现在我们有两个而且值，并可以表示为一个点: (3,4) ．

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示例问题8:求解方程

解出而且．

3x+2y=2

2x+2y=4

可能的答案:

$x=-2\ and\ y=8$

$x=2\ and\ y=-8$

$x=2\ and\ y=-4$

不能确定。

$x=-2\ and\ y=4$

正确答案:

$x=-2\ and\ y=4$

解释：

第一个方程: 3x+2y=2

第二个方程: 2x+2y=4

用第一个方程减去第二个方程，消去两个方程中的“2y”，得到x的答案:

的值代入任意一个方程，解出：

2(-2)+2y=4

-4+2y=4

2y=4+4

2y=8

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问题482:单变量代数基础

这个方程组的解是什么:

$\left\{\begin{matrix} x+2y-z=6\\ 2x+y+z=9\\ 3x+4y+z=18\end{matrix}\right.$

可能的答案:

$\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=2\\ z=1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=2\\ z=1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-2\\ z=-1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=-2\\ z=1\end{matrix}\right.$

$\left\{\begin{matrix} x=-3\\ y=2\\ z=-1\end{matrix}\right.$

正确答案:

$\left\{\begin{matrix} x=3\\ y=2\\ z=1\end{matrix}\right.$

解释：

步骤1:第一个方程乘以−2把结果加到第二个方程中。其结果是:

\left\{\begin{matrix} x+2y-z=6\\ -3y+3z=-3\\ 3x+4y+z=18\end{matrix}\right.

步骤2:第一个方程乘以−3.把结果加到第三个方程。其结果是:

\left\{\begin{matrix} x+2y-z=6\\ -3y+3z=-3\\ -2y+4z=0\end{matrix}\right.

步骤3:第二个方程乘以−23.把结果加到第三个方程。其结果是:

\left\{\begin{matrix} x+2y-z=6\\ -3y+3z=-3\\ 2z=2\end{matrix}\right.

步骤4: 解出 z ．

步骤5: 解出 y ．

-3y+3\times1=-3

步骤6:解出x用y＝2而且z＝1代入第一个方程。

$x+2\times2-1=6$

x=3

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示例问题10:求解方程

这个方程组的解是什么?

$\left\{\begin{matrix} 2y=3x+11\\ y=-5x-14\end{matrix}\right.$

可能的答案:

(-3,-1)

(3,1)

(3,-1)

(-3,1)

(1,3)

正确答案:

(-3,1)

解释：

代入方程2。方程1。,

$2\left(-5x-14\right)=3x+11$

-10x-28=3x+11

-13x=39

所以, x=-3

替代 x=-3 在方程2:

$y=-5\cdot (-3)-14=1$

解是 (-3,1) ．

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