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代数II:简化不等式

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例子问题

问题1:简化的不平等

考虑不等式

$\left | y+9 \right | > 5$

下面哪个表述有相同的解集?

可能的答案:

$y < - 4 \textup{ or } y > 4$

$y < -14 \textup{ or } y > 14$

$y < - 4 \textup{ or } y > 1 4$

$y < -14 \textup{ or } y > -4$

$y < -14 \textup{ or } y > 4$

正确答案:

$y < -14 \textup{ or } y > -4$

解释：

$\left | y+9 \right | > 5$

可以写成复合不等式语句吗

$y+9 <-5 \textup{ or } y + 9 > 5$

在每个表达式中，9可以被减去，得到不等式语句

$y < -14 \textup{ or } y > -4$

这才是正确的回应。

问题2:简化的不平等

考虑不等式

$\left | x - 7 \right | < 16$

下面哪个表述有相同的解集?

可能的答案:

-23< x < 23

-23< x < -9

-9 < x < 23

-9 < x < 9

-23< x < 9

正确答案:

-9 < x < 23

解释：

$\left | x - 7 \right | < 16$

是否等同于三方不等式

-16 < x - 7 < 16

三个表达式都加7，得到下面的语句:

-9 < x < 23

这才是正确的回应。

问题3:简化的不平等

哪个坐标是不等式的解

$y+1\leq 3x+5$

可能的答案:

(1,8)

(0,2)

(2,15)

(-1,6)

正确答案:

(0,2)

解释：

不等式两边同时减去1，得到

$y \leq 3x+4$

从这里我们代入每一组坐标，看看哪一组能满足这个表述。

$\text{For } (0,2):$

$2\le3(0)+4$

$2\le4$

这是一个正确的表述因此我们说(0,2)满足不等式。

问题4:简化的不平等

化简下面的不等式:

$3x-3\geq 6$

可能的答案:

$x\geq1$

$x\geq3$

x<3

$x\geq6$

正确答案:

$x\geq3$

解释：

为了化简不等式，我们需要把变量隔离在不等式的一边。为了做到这一点，请记住做反向操作，将数字从一边移动到另一边。

$3x-3\geq 6$

减法的相反运算是加法。因此，要把3从左边移到右边我们需要在不等式两边各加3，得到

$3x \geq 9$ ．

从这里不等式两边除以3分离变量，因为3>0，我们得到

$x\geq3$ ．

问题5:简化的不平等

解不等式。

$3x+6-2x-x^{2}\geq2+x$ ．

可能的答案:

$-x^{2}-2x\geq8$

$x^{2}\geq4$

$x^{2}<4$

$-2\leq x\leq2$

$-x^{2}>-4$

正确答案:

$-2\leq x\leq2$

解释：

首先，把左边的x组合起来: $x+6-x^{2}\geq2+x$ ．

然后，把所有的x移到左边: $x-x+6-x^{2}\geq2+x-x$ ，化简为 $6-x^{2}\geq2$ ．

接下来，将所有其他数字移到右侧: $6-6-x^{2}\geq2-6$ ，化简为 $-x^{2}\geq-4$ ．

最后，我们把整个问题除以-1，这样不等号就颠倒了。

这给了我们 $x^{2}\leq4$ ．

现在我们对两边开根号得到最终答案 $-2\leq x\leq2$

问题6:简化的不平等

化简下面的不等式:

$-4(2x-2)\geq x+14$

可能的答案:

$x\geq -\frac{6}{7}$

$x\leq -\frac{6}{7}$

$x\leq 1$

$x\geq -\frac{2}{3}$

$x\leq -\frac{2}{3}$

正确答案:

$x\leq -\frac{2}{3}$

解释：

先将-4分配给:

$-8x+8\geq x+14$

等式两边同时减去x，得到等式一边的x

$-9x+8\geq 14$

等式两边同时减去8得到x项

$-9x\geq 6$

两边同时除以-9，记住当两边除以或乘以一个负数时不等式变成了

$x\leq -\frac{6}{9}$

简化分数得到最终答案:

$x\leq -\frac{2}{3}$

问题7:简化的不平等

写出并化简这个不等式:2乘以2小于一个数的平方小于4。

可能的答案:

x>-1, x<1

x<0

x>-2, x<2

x<2

x>-1, x<3

正确答案:

x>-2, x<2

解释：

在化简之前，把不等式写成部分式。

平方:一个数的平方: x^2

比一个数的平方小2: x^2-2

二乘小于一个数的2的平方: 2(x^2-2)

小于4: 2(x^2-2)<4

两边除以2。

$\frac{2(x^2-2)}{2}<\frac{4}{2}$

两边都化简。

x^2-2<2

两边加2。

x^2-2+2<2+2

两边都化简。

x^2<4

两边开根号。

$\sqrt{x^2}<\sqrt{4}$

$\pm x<2$

这将分为两个解决方案。

第一个答案是: x<2

对于第二个答案也会有一个负分量。

-x<2

两边除以一个负的1就会改变符号。

答案是: x>-2, x<2

问题8:简化的不平等

考虑下面的等式:

$\left |x-7 \right |>4$

下面哪个选项给出了相同的解集?

可能的答案:

x<-11;x>-3

x>-11;x<-3

x>11;x<3

x<11;x>3

正确答案:

x>11;x<3

解释：

$\left |x-7 \right |>4$ 可以写成复合不等式语句:

x-7>4 或 x-7<-4

求解这些不等式得到: x>11;x<3

问题9:简化的不平等

考虑下面的不等式:

$\left | x-10\right |>5$

下面哪个表述有相同的解集?

可能的答案:

x<15 和 x<5

x>15 和 x<15

x>-15

x>15 或 x<5

x>-15 或 x>5

正确答案:

x>15 或 x<5

解释：

$\left | x-10\right |>5$

1.重写为复合不等式语句:

x-10>5 或 x-10<-5

2.简化:

x-10>5 就变成了 x>15

x-10<-5 就变成了 x<5

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