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代数II：作为指数的根

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例子问题

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示例问题＃1：作为指数的根

$f(x)=\frac{(\sqrt[4]{x^{3}})^{\frac{2}{5}}}{x^{6}}$

下面哪个选项最能简化问题 f(x) ?

可能的答案:

$f(x)=\frac{1}{x^{\frac{53}{10}}}$

$f(x)=x^{\frac{53}{10}}$

$f(x)=\frac{1}{x^{-\frac{53}{10}}}$

$f(x)=\sqrt[53]{x^{10}}$

正确答案：

$f(x)=\frac{1}{x^{\frac{53}{10}}}$

解释:

简化这样一个问题的第一步是把所有的根号转换成分数指数。记住以下关系:

$\sqrt[n]{x}=x^{\frac{1}{n}}$

还要记住指数法则，尤其是这个:

$(x^{m})^{n}=x^{mn}$

现在，让我们开始这个问题。首先，我们将激进的表达改为分数指数的东西。

$f(x)=\frac{(\sqrt[4]{x^{3}})^{\frac{2}{5}}}{x^{6}}$

$f(x)=\frac{(x^{\frac{3}{4}})^{\frac{2}{5}}}{x^{6}}$

现在我们用指数法则来化简分子。

$f(x)=\frac{x^{(\frac{3}{4}\cdot\frac{2}{5})}}{x^{6}}=\frac{x^\frac{3}{10}}{x^{6}}$

最后，我们简化整个分数：

$f(x)=\frac{x^{\frac{3}{10}}}{x^{\frac{60}{10}}}=x^{\frac{3}{10}}-x^{\frac{60}{10}}=x^{-\frac{53}{10}}$

我们可以这样写，但是这样写会更好，没有负指数

$f(x)=\frac{1}{x^{\frac{53}{10}}}$

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示例问题#2：作为指数的根

简化：

$\sqrt{\sqrt[3]{4x^{2}-4x-1}}$

你可以假设基和是非负的。

可能的答案:

$\sqrt[3]{2x+1}$

$\sqrt[3]{2x-1}$

$\sqrt {2x-1}$

$\sqrt[6]{4x^{2}-4x-1}$

$\sqrt {2x+1}$

正确答案：

$\sqrt[6]{4x^{2}-4x-1}$

解释:

的多项式 $4x^{2}-4x-1$ ，作为一个2次多项式，不能是另一个多项式的立方。而且，它也不符合完全平方二项的模式，因为它的常数项是负的。因此，我们不能提取多项式的根来帮助简化它。

然而，我们可以将每个根重写为分数指数，应用幂性质的幂，然后转换回来，如下所示:

$\sqrt{\sqrt[3]{4x^{2}-4x-1}}$

$=\sqrt{\left (4x^{2}-4x-1 \right )^{\frac{1}{3}}}$

$=\left ( \left (4x^{2}-4x-1 \right )^{\frac{1}{3}} \right )^{\frac{1}{2}}$

$= \left (4x^{2}-4x-1 \right )^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} }$

$= \left (4x^{2}-4x-1 \right )^{\frac{1}{6} }$

$=\sqrt[6]{ 4x^{2}-4x-1 }$

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示例问题＃1：作为指数的根

简化：

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{x^{16}}}$

你可能会认为是一个非负实数字。

可能的答案:

$x^{2}$

$\frac{1}{x^{2}}$

$x \sqrt[15]{x }$

$x^{8}$

$\sqrt[16]{x ^{15} }$

正确答案：

$x \sqrt[15]{x }$

解释:

在根中简化根的最好方法是将每个根重写为分数指数，然后再转换回来。

首先，将根部重写为指数。

$\sqrt[3]{\sqrt[5]{x^{16}}} = \sqrt[3]{ \left (x^{16} \right ) ^{\frac{1}{5}} } = \left [ \left (x^{16} \right ) ^{\frac{1}{5}} \right ] ^{\frac{1}{3}} = x^{16 \cdot \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{3} } = x ^{\frac{16}{15}} = \sqrt[15]{x^{16}}$

我们可以进一步简化:

$\sqrt[15]{x^{16}} = \sqrt[15]{x^{15}} \cdot \sqrt[15]{x } = x \sqrt[15]{x }$

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示例问题＃4：作为指数的根

它的价值是什么 $125^\frac{3}{2}$ ?

可能的答案:

$350\sqrt{5}$

$225\sqrt{3}$

$125\sqrt{3}$

625

$625\sqrt{5}$

正确答案：

$625\sqrt{5}$

解释:

回想一下，当你有一个分数指数时，这意味着你有一个根。指数的分母是根的类型。我们问题的指数是

$\frac{3}{2}$

因此，根是或者是平方根。

分子是底数的幂。因此，我们可以将问题改写为:

$125^\frac{3}{2} = \sqrt{125^3}$

现在，为了简化，我们可以这样做:

$\sqrt{125^3}= \sqrt{(5^3)^3}$

使用我们的指数规则，这是:

$\sqrt{5^9}$

保理出组，我们得到：

$5^4\sqrt{5}$ ,或 $625\sqrt{5}$

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示例问题#5：作为指数的根

它的价值是什么 $45^\frac{4}{3}$ ?

可能的答案:

$45\sqrt[3]{45}$

$45\sqrt[4]{45}$

$3\sqrt[3]{5}$

$45\sqrt[4]{9}$

$9\sqrt[3]{45}$

正确答案：

$45\sqrt[3]{45}$

解释:

回想一下，当你有一个分数指数时，这意味着你有一个根。指数的分母是根的类型。我们问题的指数是

$\frac{4}{3}$

因此，根是或者一个立方根。

分子是底数的幂。因此，我们可以将问题改写为:

$45^\frac{4}{3} = \sqrt[3]{45^4}$

现在，为了简化，我们可以这样做:

$\sqrt[3]{45^4} = \sqrt[3]{(3^2*5)^4}$

使用我们的指数规则，这是:

$\sqrt[3]{3^8*5^4}$

保理出组和组，我们得到：

$3^2*5\sqrt[3]{3^2*5}=45\sqrt[3]{45}$

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问题6:作为指数的根

它的价值是什么 $42^\frac{5}{3}$ ?

可能的答案:

$21\sqrt[3]{882}$

$\sqrt[5]{74088}$

$14\sqrt[3]{441}$

$42\sqrt[3]{1764}$

$14\sqrt[5]{441}$

正确答案：

$42\sqrt[3]{1764}$

解释:

回想一下，当你有一个分数指数时，这意味着你有一个根。指数的分母是根的类型。我们问题的指数是

$\frac{5}{3}$

因此，根是或者一个立方根。

分子是底数的幂。因此，我们可以将问题改写为:

$42^\frac{5}{3} = \sqrt[3]{42^5}$

现在，为了简化，我们可以这样做:

$\sqrt[3]{42^5} = \sqrt[3]{(2*3*7)^5}$

我们可以提出一组 2*3*7 . 这就给我们留下了：

$2*3*7\sqrt[3]{(2*3*7)^2}$

简单来说，这是：

$42\sqrt[3]{1764}$

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示例问题#7：作为指数的根

以下哪项等同于 $\sqrt[3]{2}$ ?

可能的答案:

2^3

$2^{-3}$

$\frac{2}{3}$

$2^{\frac{1}{3}}$

正确答案：

$2^{\frac{1}{3}}$

解释:

回想一下，数字的立方根是当乘以3次时的数量，产生您的号码。

因此，我们需要y，其中：

$y\times y \times y = 2$

考虑 $2^{-3} \cdot 2^{-3}\cdot 2^{-3} = 2^{-3 + -3 + -3} = 2^{-9}$

这不可能是我们的解决方案。

然后尝试 $2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}}\cdot 2^{\frac{1}{3}} = 2^{\frac{1}{3}+\frac{1}{3}+\frac{1}{3}} = 2^{1}$

因此，这一定是我们的解。

下次，请记住，根可以用分数指数表示！

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例子问题#8:作为指数的根

选择最佳答案。以指数形式减少以下内容： $(\sqrt{40})^{\frac{1}{2}}$

可能的答案:

$20^\frac{1}{4}$

$2^\frac{1}{2} \times10^\frac{1}{4}$

$20^\frac{1}{8}$

$20^\frac{3}{4}$

$2^\frac{1}{4} \times10^\frac{1}{8}$

正确答案：

$2^\frac{1}{2} \times10^\frac{1}{4}$

解释:

简化括号内的内项。

$(\sqrt{40})^{\frac{1}{2}} = (\sqrt{4\times 10})^{\frac{1}{2}} =( \sqrt4 \times \sqrt{10})^{\frac{1}{2}}=( 2 \sqrt{10})^{\frac{1}{2}}$

$( 2 \sqrt{10})^{\frac{1}{2}}= 2^\frac{1}{2} \times \sqrt{10}^{\frac{1}{2}}=2^\frac{1}{2} \times ((10)^{\frac{1}{2}})^{\frac{1}{2}}=2^\frac{1}{2} \times10^\frac{1}{4}$

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示例问题#9：作为指数的根

简化

$x^3\sqrt{x}$

可能的答案:

不能简化

x^5

$x^{\frac{7}{2}}$

$x^{\frac{3}{2}}$

x^6

正确答案：

$x^{\frac{7}{2}}$

解释:

$x^3\sqrt{x}$

首先写下的平方根作为一个指数,

$=x^3x^{1/2}$

根据指数的规律，我们知道我们可以简单地加上指数，

$=x^{3+\frac{1}{2}}$

$=x^{\frac{7}{2}}$

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示例问题#10：作为指数的根

简化：

$(10x^2z^3)^\frac{2}{3}$

可能的答案:

$xz^2\sqrt[3]{100x}$

$10x^3z^4\sqrt{10x}$

$xz\sqrt[3]{100x}$

$xz^2\sqrt[3]{100x^2}$

正确答案：

$xz^2\sqrt[3]{100x}$

解释:

为了简化表达式，我们必须记住，分数作为幂表示根：分子是在根中取项的幂，分母表示根的阶数（即2表示平方根，3表示立方根，等等）

把表达式改写一下，我们得到

$\sqrt[3]{(10x^2z^3)^2}$

它变成了什么

$\sqrt[3]{100x^4z^6}=\sqrt[3]{100\cdot x^3\cdot x\cdot z^6}$

现在，在获取多维数据集的多维数据集根后，将多维数据集移动到多维数据集根之外，留下非多维数据集的术语：

$xz^2\sqrt[3]{100x}$

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