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代数II:对数的乘除

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例子问题

问题1:简化对数

将下面的对数表达式写成展开形式(即求和和/或差):

$ln \left(\frac{x^{3}y^{-2}}{2z^{4}}\right)$

可能的答案:

3ln(x) - 2ln(y) -ln(2) + 4ln(z)

3ln(x) + 2ln(y) - ln(2) - 4ln(z)

3ln(x) -2ln(y) + ln(2) + 4ln(z)

3ln(x) -2ln(y) -8ln(z)

3ln(x) -2ln(y) - ln(2) - 4 ln(z)

正确答案:

3ln(x) -2ln(y) - ln(2) - 4 ln(z)

解释：

根据对数性质:

$ln(x^{4}) = 4ln (x)$ ；

$ln(y^{-2})= -2ln(y)$

$\frac{1}{2z^{4}} = -ln(2) - 4ln(z)$

把这三个词结合起来就是正确的答案:

3ln(x) -2ln(y) - ln(2) - 4 ln(z)

问题1:简化对数

下面哪个是等价的

$\log(4000)$ ？

可能的答案:

$3 + \log4$

2000

$10 + \log4$

$3\log4$

正确答案:

$3 + \log4$

解释：

回想一下，log表示底如果没有说明。然后，我们分手 $4000 = 4\cdot 1000$ 。因此，我们有 $\log(4 \cdot 1000)$ 。

我们的对数法则表明了这一点

$\log(ab) = \log(a) + \log(b)$ 。

所以我们真正感兴趣的是，

$\log(4) + \log(1000)$ 。

因为我们感兴趣的是以对数为底，我们可以解出 $\log(1000)$ 没有计算器。

我们知道 1000=10^3 根据对数的定义，我们得到了这个 $\log(1000) = 3$ 。

因此，我们有 $\log(4) + 3$ 。

问题3:简化对数

求对数表达式的值。

$\log_{3} \frac{1}{81}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

用换底公式解这个方程。

$Log_{_{3}} \frac{1}{81}$

$y = Log_{3} \frac{1}{81}$

$3^{y} = \frac{1}{81}$

$3^{^{y}} = 3^{-4}$

y = -4

问题1:对数的乘除运算

下面句子的另一种表达方式是什么?

$\small 3\log(2)$

可能的答案:

$\small \log (5)$

$\small \small \log (\frac{2}{3})$

$\small \log (8)$

$\small \log (6)$

$\small \log (9)$

正确答案:

$\small \log (8)$

解释：

使用规则

$\small a\times \log (b)= \log (b^{a})$

$\small \log (2^{3})=\log (8)$

问题5:简化对数

展开对数: $\log_{10}8x^4y$

可能的答案:

$\log_{10}8+\log_{10}x^4+\log_{10}y$

$\log_{10}8+4\log_{10}x+\log_{10}y$

$\log_{10}(8+y+x^4)$

$\log_{10}8y+4\log_{10}x$

$\log_{10}y+\log_{10}x^4 +8$

正确答案:

$\log_{10}8+4\log_{10}x+\log_{10}y$

解释：

为了解决这个问题，你必须了解对数的乘积性质 $\log_{10}uv=\log_{10}u+\log_{10}v$ 以及对数的幂性质 $\log_{10}u^n=n\log_{10}u$ 。注意，这些适用于所有以10为底的对数，而不仅仅是10为底的对数。

$\log_{10}8x^4y$

多项的对数是每一项的对数:

$\log_{10}8+\log_{10}x^4+\log_{10}y$

现在用幂函数的性质把指数移过去

$\log_{10}8+4\log_{10}x+\log_{10}y$

问题6:简化对数

下面哪个是等价的 $log(\frac{a^2b^3}{x^{-3}})$ ？

可能的答案:

2log(a)+3log(b)+3log(x)

log(2a)+log(3b)+log(3x)

2log(a)+3log(b-x)

2log(a)+log(b-x)^3

2log(a)+3log(b)-3log(x)

正确答案:

2log(a)+3log(b)+3log(x)

解释：

我们可以重写内量的项。把负指数变成分数。

$x^{-3} = \frac{1}{x^3}$

$\frac{a^2b^3}{x^{-3}} = a^2b^3 \div \frac{1}{x^3}= a^2b^3 \times \frac{x^3}{1} =a^2b^3x^3$

这意味着:

$log(\frac{a^2b^3}{x^{-3}}) = log(a^2b^3x^3)$

用加法把这些对数分开。

log(a^2b^3x^3) = log(a^2)+log(b^3)+log(x^3)

根据对数法则，幂可以作为系数转移到对数前面。

答案是: 2log(a)+3log(b)+3log(x)

问题7:简化对数

许多教科书使用以下对数约定:

$log(x) = log_{10}(x)$

ln(x) = log_e(x)

lg(x)=log_2(x)

解决:

$lg(\frac{4096}{16384})$

可能的答案:

正确答案:

解释：

记住对数的规则，我们知道 $log_a(\frac{b}{c}) = log_ab - log_ac$ 。

这告诉我们 $lg(\frac{4096}{16384})=lg(4096)-lg(16384)$ 。

这就变成了 12 - 14 ，也就是。

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