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代数2:对数

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例子问题

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例子问题1:自然对数

$5^{x}=2e^5$

解出．

可能的答案:

$x = \frac{\textup{ln}2}{\textup{ln}5}$

$x = \frac{\textup{ln}2+5}{\textup{ln}5}$

$x = \frac{\textup{ln}5}{\textup{ln}2+5}$

x=5

正确答案:

$x = \frac{\textup{ln}2+5}{\textup{ln}5}$

解释：

关于这个问题，我们首先注意到的是是指数。这应该是一个即时提醒:使用日志!

问题是，对数应该选哪个底数?我们应该用自然对数(以e为底的对数)因为方程右边已经有e为底的指数了。如你所见，这样会更好地抵消。

$5^{x}=2e^5$

两边取自然对数

$\textup{ln}(5^x) = \textup{ln}(2e^5)$

用对数乘法法则重写方程右侧:

$\textup{ln}5^x = \textup{ln}2+\textup{ln}e^5$

现在把这些指数写下来重写整个方程。

$x\textup{ln}5 = \textup{ln}2+5\textup{ln}e$

$\textup{ln}e$ 和 $\textup{log}_{e}e$ ，等于1。

$x\textup{ln}5 = \textup{ln}2+5$

现在我们只要除以 $\textup{ln}5$ 双方互相孤立．

$x = \frac{\textup{ln}2+5}{\textup{ln}5}$

例子问题1:自然对数

重写为一个对数表达式:

$2 \ln x - \ln (x + 1)$

可能的答案:

$\ln\frac{ x^{2}}{x^{2} +2x+ 1}$

$\ln\frac{ x^{2}}{x + 1}$

$\ln (x ^{2} - x-1)$

$\ln\frac{ 2x }{x + 1}$

$\ln (x-1)$

正确答案:

$\ln\frac{ x^{2}}{x + 1}$

解释：

利用对数的性质

$n \ln a = \ln a^{n}$ 而且 $\ln a - \ln b = \ln \frac{a}{b}$ ，

我们简化如下:

$2 \ln x - \ln (x + 1)$

$= \ln x^{2} - \ln (x + 1)$

$= \ln \frac{x^{2} }{x + 1}$

例子问题3:自然对数

下面哪个表达式等于这个表达式 $\ln \left ( x^{2} + 4x + 3\right )$ ?

可能的答案:

其他答案都不正确。

$\ln x^{2} \cdot \ln 4x \cdot \ln 3$

$\ln x^{2} + \ln 4x + \ln 3$

$\ln (x + 1) \cdot \ln (x + 3)$

$\ln (x + 1) + \ln (x + 3)$

正确答案:

$\ln (x + 1) + \ln (x + 3)$

解释：

通过反foil方法，我们将多项式因式分解如下:

$x^{2} + 4x + 3 = (x + 1)(x + 3)$

因此，我们可以利用这个性质

$\ln ab = \ln a + \ln b$

如下:

$\ln \left ( x^{2} + 4x + 3\right ) =\ln (x + 1)(x + 3) = \ln (x + 1) + \ln (x+3)$

问题4:自然对数

解决 $6e^{-x}+1=3$ ．四舍五入到最接近的千分位。

可能的答案:

x=1.211

x=0.089

x=-1.099

x=-2.001

正确答案:

x=-1.099

解释：

原方程为:

$6e^{-x}+1=3$

减去从双方:

$6e^{-x}=2$

两边除以：

$e^{-x}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$

两边取自然对数:

$-x=\ln \frac{1}{3}$

两边除以然后用计算器算出:

x=-1.099

例5:自然对数

函数的定义域和值域是什么 f(x)=ln(x) ?

可能的答案:

定义域=所有非负数

范围=所有正数

定义域=所有正实数

范围=所有实数

域=所有实数

范围=所有实数

定义域=所有正数

范围=所有正数

定义域=所有正数

范围=所有非负数

正确答案:

定义域=所有正实数

范围=所有实数

解释：

记住,仍然是正数的对数，．

这是不可能的取任意次幂，得到负数。因为即使 $e^{-3}$ ，例如，只是 $\frac{1}{e^3}$ ，它是两个正数的比值，因此是正的。

更重要的是，它也不可能通过向上求得到0对任何幂。你可以这样想:“对e取几次幂得到0?”

定义域是严格正的。它排除负数和0。

那么范围呢?对什么可能的值求幂?

我们刚刚看到了 e^x 对负数有一个定义。 e^0 = 1 (这一事实适用于所有数字，而不仅仅是）.

显然我们可以把它取正幂。所以值域都是实数。它包括负数、0和正数。

例子问题1:自然对数

解出：

ln(x+3)=3 ．

如果有必要，四舍五入到最近的十分位。

可能的答案:

x=17.1

x=2.7

没有解决方案

x=5.7

x=3

正确答案:

x=17.1

解释：

给两边相同的底子，用e：

$e^{ln(x+3)}=e^3$ ．

因为e而且ln相互抵消， x+3=e^3 ．

求出x，四舍五入到最接近的十分之一:

x=e^3-3

$x\approx17.1$

示例问题7:自然对数

求x:

$\ln e^{x}+\ln e^{5}=1$

可能的答案:

x=-4

$x=e^{-4}$

$x=e^{4}$

x=4

x=0

正确答案:

x=-4

解释：

要解出x，请记住，自然对数和指数是相互抵消的(任何底数与指数相同的对数的性质)。消去后，就只剩下指数了

x+5=1

x=-4

例8:自然对数

确定值: $3ln(e^{x^2-1})$

可能的答案:

3x^2-3

$6x^2-\frac{1}{e}$

$3x^2-\frac{1}{e}$

3x^2-1

6x-3

正确答案:

3x^2-3

解释：

自然对数的底是．这意味着这个项将化简为的幂．一些例子是:

ln(e^1) = 1

ln(e^2) = 2

这意味着 $ln(e^{x^2-1}) = (x^2-1)$

这个量乘以3。

3(x^2-1) = 3x^2-3

答案是: 3x^2-3

问题9:自然对数

确定值: $2e\cdot ln(e^3)$

可能的答案:

e^6

6e^5

e^7

正确答案:

解释：

为了简化这个表达式，使用下面的自然对数法则。

ln_x(x^y) =y

自然对数的默认底数为．这意味着:

$2e\cdot ln(e^3)=2e\cdot ln_e(e^3) = 2e\cdot (3)$

答案是:

例子问题10:自然对数

简化: $2e^{4ln{(2e)}}$

可能的答案:

32e^2

64e^4

32e^4

16e

16e^4

正确答案:

32e^4

解释：

根据对数性质，系数自然对数的前面可以写成对数内的量的指数。

$2e^{4ln{(2e)}} = 2e^{ln[{(2e)^4}]}$

注意到自然对数的底是．这意味着对数以底为单位递增将会消除自然对数。

这些术语变成: 2(2e)^4

化简幂。

2(2e)^4 = 2(16e^4) = 32e^4

答案是: 32e^4

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