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代数2:分解有理表达式

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例子问题

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问题81:求解有理表达式

简化:

$\frac{x+3}{x^{2}+6x+9}$

可能的答案:

$\left ( x-3 \right )$

$\frac{1}{\left ( x+3 \right )^{2}}$

$\left ( x+3 \right )^{2}$

$\left ( x+3 \right )$

$\frac{1}{x+3}$

正确答案:

$\frac{1}{x+3}$

解释：

分母因式分解得到

$\left ( x+3 \right )^{2}$

因此，有理表达式就等于

$\frac{\left ( x+3 \right )}{\left ( x+3 \right )^{2}}$

它等于 $\frac{1}{\left ( x+3 \right )}$

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例子问题2:因式分解有理表达式

简化。

$\frac{2x^2-4x-6}{4x-12}$

可能的答案:

这个表达式不能简化。

$\frac{x+1}{2}$

2x+2

$\frac{x^2-2x-3}{2(x-3)}$

x+1

正确答案:

$\frac{x+1}{2}$

解释：

a.通过提出公因式分别化简分子和分母。

$\frac{2(x^2-2x-3)}{4(x-3)}$

b.如果可能的话减少。

$\frac{x^2-2x-3}{2(x-3)}$

c.把三项式分解到分子中。

$\frac{(x-3)(x+1)}{2(x-3)}$

d.消去分子和分母之间的公因式。

$\frac{{\color{Red} (x-3)}(x+1)}{2{\color{Red} (x-3)}}=\frac{x+1}{2}$

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例子问题3:因式分解有理表达式

将以下方程从标准形式转化为顶点形式:

y=3x^2+18x+15

可能的答案:

y=(9x+2)^2-12

y=(3x+8)^2

y=3(x+3)^2-12

y=3(x+3)^2+15

y=(3x+3)^2-18

正确答案:

y=3(x+3)^2-12

解释：

为了把这个标准形式的方程转换成顶点形式，我们需要填满这个正方形。可以这样做:

$\small y=3x^2+18x+15$

y-15=3(x^2+6x)

我们将完成这个正方形 3(x^2+6x) ．在这种情况下，我们在我们即将成为 ax^2+bx+c 是．因此，我们希望 $c=(\frac{1}{2}b)^2$ ,所以 $\small c=(\frac{1}{2}(6))^2=9$ ．

因为我们在相加 $\small 3\times9$ 在右边(当我们填满括号内的正方形时)，我们需要添加 $\small 27$ 左边也一样。因此，我们的方程为:

$\small y-15+27=3(x^2+6x+9)$

$\small y+12=3(x+3)^2$

因此，我们最终的答案是 $\small y=3(x+3)^2-12$

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问题4:因式分解有理表达式

计算下面的表达式: $\small \small \frac{2x^2y^8}{5z^4}*\frac{10x^5z^5}{4y^6}$

可能的答案:

$\small \frac{y^1^4z^9}{x^3}$

$\small \frac{1}{\small x^7y^2z}$

$\small \small \frac{5x^3}{2y^1^4z^9}$

$\small x^7y^2z$

$\small \frac{2y^1^4z^9}{5x^3}$

正确答案:

$\small x^7y^2z$

解释：

当表达式与指数相乘时，我们需要记住一些规则:

变量相乘是指数相加。

除以变量减去指数。

变量的指数次方。

因此，当我们将这两个分数相乘时，我们得到:

$\small \frac{2x^2y^8}{5z^4}\ast\frac{10x^5z^5}{4y^6}=\frac{20x^7y^8z^5}{20y^6z^4}=x^7y^2z$

因此，我们最终的答案是 $\small x^7y^2z$

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例子问题1:因式分解有理表达式

简化:

$\frac{x^{2}+3x+2}{x+2}$

可能的答案:

x-1

x-3

x+1

x+2

x+3

正确答案:

x+1

解释：

首先把分子因式分解。我们需要两个数的和是3，乘积是2。数字1和2满足以下条件:

(x+2)(x+1)

现在，看看是否有什么公约数可以抵消:

$\frac{(x+2)(x+1)}{x+2}$

的 x+2 分子分母消掉，剩下 x+1 ．

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例子问题6:因式分解有理表达式

简化这个理性表达式: $\frac{x^2-14x+49}{x^2-2x-35}\cdot \frac{1}{x+5}$

可能的答案:

$\frac{x-7}{(x+5)^2}$

$\frac{(x-7)^2}{(x+5)^2}$

其他答案都没有。

$\frac{x-7}{x+5}$

$\frac{(x-7)^2}{x+5}$

正确答案:

$\frac{x-7}{(x+5)^2}$

解释：

要看什么可以简化，可以因式分解二次方程。

$\frac{(x-7)(x-7)}{(x-7)(x+5)}\cdot \frac{1}{x+5}$

约掉如下项:

$\frac{{\color{Red} (x-7)}(x-7)}{{\color{Red} (x-7)}(x+5)}\cdot \frac{1}{x+5}\rightarrow \frac{x-7}{x+5}\cdot \frac{1}{x+5}$

结合术语:

$\frac{x-7}{(x+5)^2}$

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示例问题7:因式分解有理表达式

分解并简化这个有理表达式: $\frac{(x+2)^2(x-3)(x+3)}{(x^2+2x+4)(x^2-6x+9)(x^2+6x+9)}$

可能的答案:

$\frac{1}{x^2+6x+9}$

这些都不是。

$\frac{1}{(x+3)}$

$\frac{1}{(x-3)(x+3)}$

$\frac{1}{(x+3)(x+3)}$

正确答案:

$\frac{1}{(x-3)(x+3)}$

解释：

$\frac{(x+2)^2(x-3)(x+3)}{(x^2+2x+4)(x^2-6x+9)(x^2+6x+9)}$

完全因式分解所有多项式:

$\frac{(x+2)^2(x-3)(x+3)}{(x+2)(x+2)(x-3)(x-3)(x+3)(x+3)}$

取消喜欢的术语:

$\mathbf{\frac{1}{(x-3)(x+3)}}$

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例8:因式分解有理表达式

因素 $f(x)=\frac{x^2 + x - 12}{x^2 - x - 6}$ ．

可能的答案:

x(x+4)

$\frac{(x+4)}{(x+2)}$

$\frac{(x-3)}{(x+3)(x+2)}$

(x+4)(x+2)

$\frac{(x+3)(x+4)}{(x-3)(x+2)}$

正确答案:

$\frac{(x+4)}{(x+2)}$

解释：

一开始，我们可以把它看作两个独立的问题，分别分解分子和分母:

x^2 + x - 12 = (x+4)(x-3)

x^2 - x - 6 = (x+2)(x-3)

分解后，我们可以把分解后的方程放到原来的问题中:

$f(x)= \frac{(x+4)(x-3)}{(x+2)(x-3)}$

从这里，我们可以取消 (x-3) 从上到下，留下:

$f(x)=\frac{(x+4)}{(x+2)}$

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问题9:因式分解有理表达式

因素: $\frac{2x^2+8x-10}{16x-16}$

可能的答案:

$\frac{x^2-4x-5}{8}$

$\frac{x^2-4x-5}{8x}$

$\frac{x+5}{16}$

$\frac{x+3}{16}$

$\frac{x+5}{8}$

正确答案:

$\frac{x+5}{8}$

解释：

把分子上的2提出来。

2x^2+8x-10 = 2(x^2+4x-5)

因式分解三项式。

2(x^2+4x-5) = 2(x-1)(x+5)

分母因式分解。

16x-16 = 16(x-1)

除项。

$\frac{2(x-1)(x+5)}{16(x-1)}$

答案是: $\frac{x+5}{8}$

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例子问题10:因式分解有理表达式

简化成简单的条款。

$\frac{x^2-x-56}{x^2-15x+56}$

可能的答案:

$\frac{x+7}{x-7}$

正确答案:

解释：

正确答案是．分子和分母都可以分解成更简单的形式:

$\frac{(x-8)(x+7)}{(x-8)(x-7)}$

的 (x-8 ) 项就消掉了。离开 $\frac{x+7}{x-7}$ ．虽然这是一个答案选择，但它可以进一步简化。提出a从分母可以得到 x-7 消掉离开的项．

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