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代数II:求解有理表达式

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例子问题

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问题1:加法和减法有理表达式

简化 $\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-5}{x+3}$

可能的答案:

$\frac{3x^{2}+5x-6}{x^{2}-3x+2}$

$\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{2}+3x-2}$

$\frac{2x^{2}-5x+6}{x^{2}-2x+3}$

$\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

$\frac{3x^{2}-x+7}{x^{2}+2x+2}$

正确答案:

$\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

解释：

这是一个更复杂的形式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}= \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

找到最小公分母(LCD)并将每个分数转换为LCD，然后添加分子。根据需要简化。

$\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-5}{x+3}=\frac{x+2}{x-1}\cdot \frac{x+3}{x+3}+\frac{x-5}{x+3}\cdot \frac{x-1}{x-1}$

它等价于 $\frac{(x+2)\cdot (x+3)+(x-5)\cdot (x-1)}{(x+3)\cdot (x-1)}$

简化得到 $\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

报告错误

问题3:如何用Lcd求有理方程的解

简化:

$\frac{4x}{x+3}+\frac{2x}{x+3}$

可能的答案:

$\frac{6x}{x+3}$

$\frac{6}{x}$

$\frac{8x}{x+3}$

正确答案:

$\frac{6x}{x+3}$

解释：

$\frac{4x}{x+3}+\frac{2x}{x+3}$

因为这两个有理数表达式的分母相同，我们可以直接在上面相加。分母保持不变。

所以答案是 $\frac{6x}{x+3}$ ．

报告错误

问题2:加法和减法有理表达式

简化

$\frac{5}{x^2}-\frac{1}{3x^3}$

可能的答案:

这个表达式不能简化。

$\frac{4}{3x^3}$

$\frac{4}{x^2-3x^3}$

$\frac{15x-1}{1}$

$\frac{15x-1}{3x^3}$

正确答案:

$\frac{15x-1}{3x^3}$

解释：

a.通过两个分母的最小公倍数找到一个公分母。3和1的LCM是3。的LCM x^2 和 x^3 是 x^3 ．因此，公分母是 3x^3 ．

b.写出一个相等的分数 $\frac{5}{x^2}$ 使用 3x^3 作为分母。分子分母同时乘以得到 $\frac{15x}{3x^3}$ ．注意，原始表达式中的第二个分数已经有 3x^3 作为分母，所以不需要转换。

表达式现在看起来应该是这样的: $\frac{15x}{3x^3}-\frac{1}{3x^3}$ ．

c.分子相减，差除以公分母。

$\frac{15x-1}{3x^3}$

报告错误

问题3:加法和减法有理表达式

将下列表达式组合成一个分数:

$\small \frac{x^2+y}{25x}+\frac{z+3}{y}$

可能的答案:

这两个分数不能合并，因为它们的分母不同。

$\small \frac{x^2+y+z+3}{25xy}$

$\small \frac{x^2z+yz+3x^2+3y}{25xy}$

$\small \frac{25x^3+25xy+yz+3y}{25xy}$

$\small \frac{x^2y+y^2+25xz+75x}{25xy}$

正确答案:

$\small \frac{x^2y+y^2+25xz+75x}{25xy}$

解释：

要把不同分母的分数组合起来，我们必须首先找到两者之间的公分母。我们可以把第一个分数乘以 $\small \frac{y}{y}$ 第二个分数是 $\small \frac{25x}{25x}$ ．因此，我们得到:

$\small \frac{x^2+y}{25x}\times \frac{y}{y}+\frac{z+3}{y}\times\frac{25x}{25x}$

$\small \small \frac{x^2y+y^2}{25xy}+\frac{25xz+75x}{25xy}$

由于这两个分数有相同的分母，我们现在可以把它们组合起来，因此我们的最终答案是:

$\small \frac{x^2y+y^2+25xz+75x}{25xy}$

报告错误

问题4:加法和减法有理表达式

是什么 $\frac{x+1}{3} + \frac{2x-5}{2}$ ？

可能的答案:

$\frac{8x+13}{3}$

$\frac{3x-4}{5}$

$\frac{8x-13}{6}$

$\frac{8x+17}{6}$

$\frac{6x-2}{3}$

正确答案:

$\frac{8x-13}{6}$

解释：

我们首先把这两项调整为相同的分母即2 × 3 = 6

然后调整分子，x+1乘以2,2x-5乘以3

$\frac{(x+1)\cdot 2}{3 \cdot 2}+\frac{(2x-5) \cdot 3}{2 \cdot 3}$

结果是:

$\frac{2x+2}{6}+\frac{6x-15}{6}$

所以最后的答案是，

$\frac{8x-13}{6}$

报告错误

问题5:加法和减法有理表达式

是什么 $\frac{3x-4}{x+2}-\frac{5x+2}{2x+4}$ ？

可能的答案:

$\frac{-2x-6}{3x+6}$

$\frac{8x+6}{x+2}$

$\frac{x-10}{2x+4}$

$\frac{x-10}{x+2}$

$\frac{-x+10}{2x+2}$

正确答案:

$\frac{x-10}{2x+4}$

解释：

首先把两个方程放在相同的分母上。

2x+4 = (x+2) x2所以我们只需要调整第一项

$\frac{(3x-4)\cdot 2}{(x+2)\cdot 2}-\frac{5x+2}{2x+4}$

$=\frac{6x-8}{2x+4}-\frac{5x+2}{2x+4}$

然后减去分子，记住要把负号分配到第二个分数的分子上

$=\frac{6x -8 -5x-2}{2x+4}=\frac{x-10}{2x+4}$

报告错误

问题6:加法和减法有理表达式

$\frac{15x+A}{x^{2}+8x+15}=\frac{7}{x+5}+\frac{8}{x+3}$

的值．

可能的答案:

正确答案:

解释：

(x+5)(x+3)是这个问题的公分母分子是7(x+3)和8(x+5)

7(x+3)+8(x+5)= 7x+21+8x+40= 15x+61

一个= 61

报告错误

问题7:加法和减法有理表达式

添加:

$\frac{x}{x^{2}-2x-3} + \frac{1}{x^{2}-2x -3}$

可能的答案:

$\frac{x-3}{x+1}$

$\frac{x+1}{x^{2}-2x-3}$

$\frac{1}{x+1}$

$\frac{1}{x-3}$

正确答案:

$\frac{1}{x-3}$

解释：

首先将分母分解，得到如下结果:

$\frac{x}{\left ( x+1 \right )\left ( x-3 \right )} + \frac{1}{\left ( x+1 \right )\left ( x-3 \right )}$

这两个有理数有一个公分母，因此它们就像“类分数”。因此我们得到:

$\frac{x+1}{\left ( x+1 \right )\left ( x-3 \right )}$

简化让我们

$\frac{1}{x-3}$

报告错误

问题8:加法和减法有理表达式

减:

$\frac{2x}{x-1} - \frac{3}{x^{2}-1}$

可能的答案:

$\frac{2x-3}{x-1}$

$\frac{2x-3}{x+1}$

$\frac{2x^{2}+2x-3}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}$

$\frac{2x^{2}-3}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}$

$\frac{2}{x-1}$

正确答案:

$\frac{2x^{2}+2x-3}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}$

解释：

首先让我们找到一个公分母如下:

$\frac{2x\left ( x+1 \right )}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )} - \frac{3}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}$

现在我们可以减去分子，得到 $2x^{2}+2x-3$

所以最后的答案是 $\frac{2x^{2}+2x-3}{\left ( x+1 \right )\left ( x-1 \right )}$

报告错误

问题7:如何用Lcd求有理方程的解

解有理方程:

$\small \frac{x+2}{2}-\frac{3}{2x-4}=3$

可能的答案:

没有解决方案

$\small x=\frac{1}{5}$

$\small x=-2$ 或 $\small x=2$

$\small x=1$ 或 $\small x=5$

$\small x=0$

正确答案:

$\small x=1$ 或 $\small x=5$

解释：

对于有理方程我们首先要注意定义域，它是实数，除了 $\small \tiny x=2$ ．(回想一下，分母不能等于零。因此，要找到定义域，将每个分母设为零，并解出变量不能是什么。

最小公分母 $\small 2$ 和 $\small 2x-4$ 是 $\small 2(x-2)$ ．将每一项乘以LCD以消去分母。方程化简为 $\small \small (x-2)(x+2)-3=6(x-2)$ ．我们可以将方程展开为 $\small \small x^2 -4-3=6x-12$ ．将相似项组合并求解: $\small x^2-6x+5=0$ ．对二次方程进行因式分解，使每个因式都等于零，得到解，即 $\small x=5$ 或 $\small x=1$ ．这些答案是有效的，因为它们在定义域内。

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