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高等几何:四边形

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例子问题

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问题61:四边形

$\small \small Find\ the\ height\ of\ a\ trapezoid\ with\ bases\ of\ 8\ and\ 12\ and\ an\ area\ of\ 80m^{2}.$

可能的答案:

$\small \small \small 10\ m$

$\small 12\ m$

$\small 60\ m$

$\small \small 8\ m$

正确答案:

$\small \small 8\ m$

解释：

$\small Use\ the\ area\ formula\ for\ a\ trapezoid.$

$\small A=\frac{b_{1}+b_{2}}2(h)$

$\small Substitute\ each\ known\ value\ then\ use\ algebra\ to\ solve\ for\ the\ height.$

$\small \small 80=\frac{8+12}{2}h$

$\small 80=10h$

$\small 8=h$

问题61:四边形

求梯形的面积如下所示:

Trap1

可能的答案:

$240\ cm^2$

$325\ cm^2$

$300\ cm^2$

$260\ cm^2$

正确答案:

$300\ cm^2$

解释：

为了求出梯形的面积，我们必须使用下面的公式:

$A=\frac{b_{1}+b_{2}}{2}(h)$

$In\ this\ trapezoid\ b_{1}=30\ and\ b_{2}=20.$

$We\ can\ also\ see\ that\ h=12.$

$When\ we\ plug\ in\ all\ of\ the\ above\ values\ into\ the\ formula\ we\ get:$

$A=\frac{20+30}{2}(12)$

A=300cm^2

问题61:平面几何

用代数方法说明如何展开梯形面积公式。

Varsity7

可能的答案:

$\frac{1}{2}(b_{1}+b_{2})+h$ $\frac{1}{2}b_{1}h+\frac{1}{2}b_{2}h$

$= \frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$

$h^{2}(\frac{1}{2}b_{1}+\frac{1}{2}b_{2})$

$= \frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$

$\frac{1}{2}b_{1}h+\frac{1}{2}b_{2}h$

$= \frac{1}{2}(b_{1}h+b_{2}h)$

$= \frac{1}{2}h(b_{1}+b_{2})$

$= \frac{h\cdot 1}{2}(b_{1}+b_{2})$

$= \frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$

$h(b_{1}\cdot b_{2})$

$= \frac{1}{2}(b_{1}+b_{2})$

$= \frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$

$\frac{1}{2}(b_{1}+b_{2})+h$

$= \frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$

正确答案:

$\frac{1}{2}b_{1}h+\frac{1}{2}b_{2}h$

$= \frac{1}{2}(b_{1}h+b_{2}h)$

$= \frac{1}{2}h(b_{1}+b_{2})$

$= \frac{h\cdot 1}{2}(b_{1}+b_{2})$

$= \frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$

解释：

1)地区 $A_{1}$ 这个三角形有底 $b_{1}$ 是 $A_{1} = \frac{1}{2}(b_{1})h$ ．

2)地区 $A_{2}$ 这个三角形有底 $b_{2}$ 是 $A_{2} = \frac{1}{2}(b_{2})h$ ．

3)两个三角形面积之和为

$A_{1} + A_{2}$

$= \frac{1}{2}b_{1}h + \frac{1}{2}b_{2}h$

$= \frac{1}{2}(b_{1}h+b_{2}h)$

$= \frac{1}{2}h(b_{1}+b_{2})$

$= \frac{h\cdot 1}{2}(b_{1}+b_{2})$

$= \frac{h}{2}(b_{1}+b_{2})$

问题361:先进的几何

找到区域梯形的。

Varsity2

可能的答案:

$A = 4\cdot \frac{1}{2}(4a-a)2a$

$= 4\cdot \frac{1}{2}(3a)2a$

$= 2\cdot3a\cdot2a$

$= 12a^{2}$

$A = \frac{1}{2}\cdot4a\cdot2a + a$

$= 4a^{2} + a$

$= 5a^{2}$

$A = \frac{1}{2}(a + 2a)$

$= \frac{1}{2}(3a)$

对区域，

$A = \frac{h}{2}(b_{1} + b_{2})$

$= \frac{2a}{2}(a + 4a)$

= a(5a)

$= 5a^{2}$

$A = a\cdot2a\cdot4a$

$= 8a^{3}$

正确答案:

对区域，

$A = \frac{h}{2}(b_{1} + b_{2})$

$= \frac{2a}{2}(a + 4a)$

= a(5a)

$= 5a^{2}$

解释：

1)利用梯形面积公式， $A = \frac{h}{2}(b_{1} + b_{2})$ ，

高度 h = 2a 、基础 $b_{1} = a$ 、基础 $b_{2} = 4a$ ．

2)代换后，得到的表达式为 $= \frac{2a}{2}(a + 4a)$ ．

3)对得到的表达式进行简化，

= a(5a)

$= 5a^{2}$

问题61:平面几何

这个矩形以梯形为界 EBCF ．找到区域 $A_{T}$ 梯形的。

Varsity6

可能的答案:

37.5

49.56

正确答案:

49.56

解释：

1)梯形顶基的测量 $\overline{BC}$ 一定要找到。

2)寻找 $m(\overline{BC})$ ，而且必须求出来，然后求和 x + y 是减去矩形顶部边的长度，结果是差吗 10 - (x + y) ．

3） $m(\overline{BC}) = 10 - (x + y)$ ．

3)利用勾股定理 $\bigtriangleup EAB$ 而且 $\bigtriangleup FCD$ ，而且可以找到。

4)使用 $\bigtriangleup EAB$ 为，

$(7.5)^{2} + x^{2} = 8^{2}$

$x^{2} = 64 - 56.25$

$x^{2} = 7.75$

$x = \sqrt{7.75}$

$x \approx 2.784$

5)使用 $\bigtriangleup FCD$ 为，

$(7.5)^{2} + y^{2} = (8.5)^{2}$

$y^{2} = 72.25 - 56.25$

$y^{2} = 16$

y = 4

6) $BC = 10 - (\sqrt{7.75} + 4) \approx 3.216$

7） $A_{T} = \frac{7.5}{2} \cdot ( 3.216 + 10)$

= (3.75)(13.216)

= 49.56

问题61:四边形

求阴影区域的面积。

Varsity3

可能的答案:

322

22.5

200

105

正确答案:

22.5

解释：

阴影区域位于外梯形和内梯形之间。为了求出阴影区域的面积，用外梯形的面积减去内梯形的面积。

1)阴影区域面积= $A_{S}$ ，外梯形面积= $A_{O}$ ，内梯形面积= $A_{I}$ ．

2） $A_{O} = \frac{5}{2}(5 + 10)$ ， $A_{I} = \frac{3}{2}(4 + 6)$

3） $A_{S} = A_{O} - A_{I}$

$= \frac{5}{2}(5 + 10) - \frac{3}{2}(4 + 6)$

$= \frac{5}{2}(15) - \frac{3}{2}(10)$

$= \frac{75}{2} - \frac{30}{2}$

$= \frac{45}{2}$

= 22.5

示例问题21:梯形

求图形的面积。

可能的答案:

79.06

82.83

85.33

81.27

正确答案:

82.83

解释：

从图中，您应该注意到它由一个直角三角形和一个梯形组成。梯形的下底也是直角三角形的斜边。

首先，用勾股定理求出直角三角形斜边的长度。

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{\text{base}^2+\text{height}^2}$

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{6^2+12^2}=\sqrt{180}$

接下来，用这个值求梯形的面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(\text{base 1}+\text{base 2})(\text{height})$

代入已知值求面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(10+\sqrt{180})(4)=20+2\sqrt{180}$

接下来，求三角形的面积。

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(\text{base})(\text{height})$

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(6)(12)=36$

为求图的面积，将两个面积相加。

$\text{Area of Figure}=\text{Area of Trapezoid}+\text{Area of Triangle}$

$\text{Area of Figure}=20+2\sqrt{180}+36=82.83$

一定要四舍五入小数点后几位。

问题361:先进的几何

求图形的面积。

可能的答案:

正确答案:

解释：

从图中，您应该注意到它由一个直角三角形和一个梯形组成。梯形的下底也是直角三角形的斜边。

首先，用勾股定理求出直角三角形斜边的长度。

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{\text{base}^2+\text{height}^2}$

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}=13$

接下来，用这个值求梯形的面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(\text{base 1}+\text{base 2})(\text{height})$

代入已知值求面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(11+13)(3)=36$

接下来，求三角形的面积。

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(\text{base})(\text{height})$

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(5)(12)=30$

为求图的面积，将两个面积相加。

$\text{Area of Figure}=\text{Area of Trapezoid}+\text{Area of Triangle}$

$\text{Area of Figure}=30+36=66$

问题61:平面几何

求出下图的面积。

可能的答案:

164.67

114.00

150.09

136.28

正确答案:

164.67

解释：

从图中，您应该注意到它由一个直角三角形和一个梯形组成。梯形的下底也是直角三角形的斜边。

首先，用勾股定理求出直角三角形斜边的长度。

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{\text{base}^2+\text{height}^2}$

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{10^2+16^2}=\sqrt{356}$

接下来，用这个值求梯形的面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(\text{base 1}+\text{base 2})(\text{height})$

代入已知值求面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(15+\sqrt{356})(5)=\frac{75+5\sqrt{356}}{2}$

接下来，求三角形的面积。

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(\text{base})(\text{height})$

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(10)(16)=80$

为求图的面积，将两个面积相加。

$\text{Area of Figure}=\text{Area of Trapezoid}+\text{Area of Triangle}$

$\text{Area of Figure}=\frac{75+5\sqrt{356}}{2}+80=164.67$

一定要四舍五入小数点后几位。

问题61:四边形

求图形的面积。

可能的答案:

64.63

75.64

71.22

68.09

正确答案:

64.63

解释：

从图中，您应该注意到它由一个直角三角形和一个梯形组成。梯形的下底也是直角三角形的斜边。

首先，用勾股定理求出直角三角形斜边的长度。

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{\text{base}^2+\text{height}^2}$

$\text{Hypotenuse}=\sqrt{6^2+9^2}=\sqrt{117}$

接下来，用这个值求梯形的面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(\text{base 1}+\text{base 2})(\text{height})$

代入已知值求面积。

$\text{Area of Trapezoid}=\frac{1}{2}(8+\sqrt{117})(4)=16+2\sqrt{117}$

接下来，求三角形的面积。

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(\text{base})(\text{height})$

$\text{Area of Triangle}=\frac{1}{2}(6)(9)=27$

为求图的面积，将两个面积相加。

$\text{Area of Figure}=\text{Area of Trapezoid}+\text{Area of Triangle}$

$\text{Area of Figure}=16+2\sqrt{117}+27=64.63$

一定要四舍五入小数点后几位。

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