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ACT数学:与矩阵的标量交互

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例子问题

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例子问题1:矩阵

评估: $-3\begin{bmatrix} 2& 3 & 4\\ 4&-5 & 10 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} -6& -9& -12\\ -12& 15& -30 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -12&-6 \\ 15& -9\\ -30&-12 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -12& -1\\ 15& 0\\ -30& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1& 0& 1\\ -12& 15&-30 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -18& 6& -42 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -6& -9& -12\\ -12& 15& -30 \end{bmatrix}$

解释：

这个问题涉及到一个矩阵的标量乘法。简单地将- 3乘上2 × 3矩阵中的每一个数。行和列不会改变。

$-3\begin{bmatrix} 2& 3 & 4\\ 4&-5 & 10 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -6&-9 &-12 \\ -12& 15&-30 \end{bmatrix}$

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例子问题1:矩阵

$5\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = 14\begin{bmatrix} 20 \\ 12 \end{bmatrix}$

是什么 a+b ?

可能的答案:

$\frac{148}{5}$

$\frac{448}{5}$

$\frac{191}{4}$

$\frac{41}{5}$

正确答案:

$\frac{448}{5}$

解释：

你可以像对待这个方程一样开始:

5x=14y

也就是说，两边都除以：

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \frac{14}{5}\begin{bmatrix} 20 \\ 12 \end{bmatrix}$

现在，对于矩阵的标量乘法，你只需要将标量乘以每个分量:

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{14}{5}*20 \\ \frac{14}{5}*12 \end{bmatrix}$

然后,简化:

$\begin{bmatrix} a \\ b \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 56 \\ \frac{168}{5} \end{bmatrix}$

因此, $a+b=56+\frac{168}{5}=\frac{280}{5}+\frac{168}{5}=\frac{448}{5}$

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例子问题1:矩阵

如果 $\frac{1}{2}$\bigl(\begin{smallmatrix} 2a\\4b \end{smallmatrix} \bigr)$=$\bigl(\begin{smallmatrix} 53 \\ 98 \end{smallmatrix} \bigr)$$ ，什么是 a+b ?

可能的答案:

102

$\frac{103}{2}$

$\frac{99}{2}$

正确答案:

102

解释：

首先将分数分布到方程左边的矩阵中。这将简化内容，因为它们是的因子：

$\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 2a\\4b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} a\\2b \end{bmatrix}$

这意味着方程是这样的
$\begin{bmatrix} a\\2b \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 53 \\ 98 \end{bmatrix}$

这仅仅意味着:

a=53

而且

2b=98 或 b=49

因此, a+b=53+49=102

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例子问题12:矩阵

简化:

$\begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 11 &22 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 20 & 12\\ 44 &88 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 33 & 16\\ 115 & 91\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 49\\ 206\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 49 & 206\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 31 & 93\\ 3 &21 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 33 & 16\\ 115 & 91\end{bmatrix}$

解释：

矩阵的标量乘法和加法都很简单。就像普通的标量值一样，你先做乘法:

$\begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix} + 4\begin{bmatrix} 5 & 3\\ 11 &22 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 20 & 12\\ 44 &88 \end{bmatrix}$

矩阵的加法非常简单。你只需要把它们直接加在一起，直接把空格联系起来。

$\begin{bmatrix} 13 & 4\\ 71 &3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 20 & 12\\ 44 &88 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 +20 & 4+12\\ 71+44 &3 +88\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 13 +20 & 4+12\\ 71+44 &3 +88\end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 33 & 16\\ 115 & 91\end{bmatrix}$

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例子问题1:矩阵

简化以下内容

$3\cdot \begin{bmatrix} -3& 5&0 \\ 4& -1& 2 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 6 \\ 15 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -9& 15&0 \\ 12& -3& 6 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0& 0&0 \\ 1& 1& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -9& 5&0 \\ 12& -1& 2 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -9& 15&0 \\ 12& -3& 6 \end{bmatrix}$

解释：

当将任何矩阵乘以一个标量(在我们的例子中是3)时，我们只需将矩阵中的每一项乘以标量。

因此，每个数字都乘以3，就得到了答案。

$\begin{bmatrix} -9& 15&0 \\ 12& -3& 6 \end{bmatrix}$

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例子问题3:矩阵

定义矩阵 $M = \begin{bmatrix} 3&-5 &4 \\ 5&6 &1 \\ 3&-4 & -7 \end{bmatrix}$ ，让是3x3单位矩阵。

如果 N = M -6 I ，然后评估 $n _{3,1}$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

3x3单位矩阵是

$I = \begin{bmatrix} 1&0 &0 \\ 0&1&0 \\ 0&0 &1\end{bmatrix}$

矩阵的标量乘法和矩阵加法都是按元素进行的，所以

$n _{3,1} = m _{3,1} -6 i _{3,1}$

$m _{3,1}$ 第一个元素在第三行吗，即3;同样的, $i _{3,1} = 0$ ．因此,

$n _{3,1} = 3 -6 (0)= 3$

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问题4:矩阵

定义矩阵 $M = \begin{bmatrix} 3&-5 &4 \\ 5&6 &1 \\ 3&-4 & -7 \end{bmatrix}$ ，让是3x3单位矩阵。

如果 N = 7M + I ，然后评估 $n _{3,1}$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

3x3单位矩阵是

$I = \begin{bmatrix} 1&0 &0 \\ 0&1&0 \\ 0&0 &1\end{bmatrix}$

矩阵的标量乘法和矩阵加法都是按元素进行的，所以

$n _{3,1} = 7 m _{3,1} + i _{3,1}$

$m _{3,1}$ 第一个元素在第三行吗，即3;同样的, $i _{3,1} = 0$ ．因此,

$n _{3,1} = 7 (3) + 0 = 21$

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例子问题1:矩阵

定义矩阵 $M = \begin{bmatrix} 3&-5 &4 \\ 5&6 &1 \\ 3&-4 & -7 \end{bmatrix}$ ．

如果 5N = M 、评估 $n_{2,1}$ ．

可能的答案:

正确答案不在其他答案中。

正确答案:

解释：

如果 5N = M ,然后 $N = \frac{1}{5} M$ ．

矩阵的标量乘法是按元素进行的，所以

$n_{2,1} = \frac{1}{5} m_{2,1}$

$m_{2,1}$ 第一个元素在第二行吗，等于5，所以

$n_{2,1} = \frac{1}{5} (5) = 1$

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例子问题1:矩阵

定义矩阵 $M = \begin{bmatrix} 3&-5 &4 \\ 5&6 &1 \\ 3&-4 & -7 \end{bmatrix}$ ．

如果 N = 3M 、评估 $n_{2,3}$ ．

可能的答案:

正确答案不在其他答案中。

$\frac{1}{3}$

$-1\frac{1}{3}$

正确答案:

解释：

矩阵的标量乘法是按元素进行的，所以

$n_{2,3} = 3 m _{2,3}$

$m _{2,3}$ 第二行第三个元素是，等于1，所以

$n_{2,3} = 3 \cdot 1 = 3$

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示例问题7:矩阵

定义矩阵 $M = \begin{bmatrix} 3&-5 &4 \\ 5&6 &1 \\ 3&-4 & -7 \end{bmatrix}$ ，让是3x3单位矩阵。

如果 M = 4N + I 、评估 $n_{2,1}$ ．

可能的答案:

$-1\frac{1}{4}$

$1\frac{1}{4}$

其他答案中没有给出正确答案。

$-1\frac{1}{2}$

正确答案:

$1\frac{1}{4}$

解释：

3x3单位矩阵是

$I = \begin{bmatrix} 1&0 &0 \\ 0&1&0 \\ 0&0 &1\end{bmatrix}$

矩阵的标量乘法和矩阵加法都是按元素进行的，所以

$m_{2,1} = 4n_{2,1} +i_{2,1}$

$m_{2,1}$ 是第二行的第一个元素，也就是5;同样的, $i_{2,1} = 0$ ．方程变成了

$5= 4n_{2,1} +0$

$5= 4n_{2,1}$

$n_{2,1}= 5 \div 4 = 1\frac{1}{4}$

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