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ACT数学:如何乘有理表达式

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例子问题

例子问题1:如何乘有理表达式

乘 $\left ( 3x-1\right )\cdot \left ( x+4\right )$

可能的答案:

$3x^{2}+11x-4$

$3x^{2}+11x+4$

$3x^{2}-11x-4$

$3x^{2}+13x-4$

$3x^{2}+13x+4$

正确答案:

$3x^{2}+11x-4$

解释：

当两个二项式相乘时，最好记住助记符FOIL，它代表First、Outer、Inner和Last。按照FOIL的顺序，我们将每个二项式的第一项相乘，然后是表达式的外部项，然后是表达式的内部项，最后是每个二项式的最后一项。对于这个问题，我们得到: $F : 3x\cdot x = 3x^{2}, O : 3x\cdot 4 = 12x, I : -1\cdot x = -x, L: -1\cdot 4 = -4$ 现在我们已经“FOILed”了我们的表达式，我们只需添加我们的结果来得到最终的答案。 $3x^{2} + 12x - x -4 = 3x^{2}+11x-4$

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例子问题1:如何乘有理表达式

给出产品的简化形式: $\frac{9x}{y^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{12} \cdot \frac{2}{xy}$

可能的答案:

$\frac{3x^{3}}{2y^{3}}$

$\frac{3}{2x^{3}y^{3}}$

$\frac{2x^{3}}{3y^{3}}$

$\frac{2x^{3}y^{3}}{3}$

$\frac{3y^{3}}{2x^{3}}$

正确答案:

$\frac{3x^{3}}{2y^{3}}$

解释：

使用交叉取消如下:

$\frac{9x}{y^{2}} \cdot \frac{x^{3}}{12} \cdot \frac{2}{xy}$

$= \frac{3x}{y^{2}} \cdot \frac{x^{2}}{2} \cdot \frac{1}{ y}$

$= \frac{3x^{3}}{2y^{3}}$

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例子问题2:如何乘有理表达式

给出产品的简化形式:

$\frac{4x}{7y} \cdot \frac{y^{2}- 7y}{x^{2}+ 4x}$

可能的答案:

$\frac{ 4y - 1 }{ 7x+ 1 }$

$\frac{ y - 1 }{ x+ 1 }$

$\frac{ y - 4 }{ x+ 7 }$

$\frac{ 4y }{ 7x }$

$\frac{ 4y - 28 }{ 7x+ 28 }$

正确答案:

$\frac{ 4y - 28 }{ 7x+ 28 }$

解释：

把第二分数的分子和分母分解，交叉消去公因数，然后相乘。

$\frac{4x}{7y} \cdot \frac{y^{2}- 7y}{x^{2}+ 4x}$

$= \frac{4x}{7y} \cdot \frac{y \left (y - 7 \right ) }{x\left ( x+ 4 \right )}$

$= \frac{4 }{7 } \cdot \frac{ y - 7 }{ x+ 4 }$

$= \frac{ 4y - 28 }{ 7x+ 28 }$

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问题2421:行为的数学

给出产品的简化形式:

$\left (x^{2} - 9 \right ) \cdot \frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}-6x+9}$

可能的答案:

$x^{2} + 3x+9$

$\frac{ x^{3} + 9 x^{2} +9x +27}{x-3}$

$\frac{ x^{3} +27}{x-3}$

$x^{2}+6x+9$

$\frac{ x^{3} + 9 x^{2} +27 x +27}{x-3}$

正确答案:

$\frac{ x^{3} + 9 x^{2} +27 x +27}{x-3}$

解释：

把第一个多项式和分子分母分解到第二个分数里，交叉消去公因式，然后相乘。

$\left (x^{2} - 9 \right ) \cdot \frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}-6x+9}$

$=\frac{x^{2} - 9 }{1} \cdot \frac{x^{2}+6x+9}{x^{2}-6x+9}$

$=\frac{(x+3)(x-3) }{1} \cdot \frac{(x+3) (x+3)}{(x-3) (x-3)}$

$=\frac{x+3 }{1} \cdot \frac{(x+3) (x+3)}{x-3}$

$= \frac{(x+3) ^{3}}{x-3}$

x+3 可以使用二项式模式的立方进行立方:

$(x+3) ^{3} = x^{3} + 3 \cdot x^{2}\cdot 3 + 3 \cdot x\cdot 3 ^{2}+ 3^{3}$

$= x^{3} + 9 x^{2} +27 x +27$

所以上面的有理表达式可以改写为

$\frac{ x^{3} + 9 x^{2} +27 x +27}{x-3}$

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问题#2422:行为的数学

给出产品的简化形式:

$\frac{x^{3}- 8}{x^{3}+8} \cdot \frac{x+2}{x-2}$

可能的答案:

$\frac{ x ^{2}+2x+4 }{ x ^{2}-2x+4 }$

$\frac{ x ^{2}-4x+4 }{ x ^{2}+4x+4 }$

$\frac{ x ^{2}-2x+4 }{ x ^{2}+2x+4 }$

$\frac{ x ^{2}+4x+4 }{ x ^{2}-4x+4 }$

正确答案:

$\frac{ x ^{2}+2x+4 }{ x ^{2}-2x+4 }$

解释：

把第一个分数的分子和分母分解，交叉消去公因式，然后相乘。

$\frac{x^{3}- 8}{x^{3}+8} \cdot \frac{x+2}{x-2}$

$=\frac{\left (x-2 \right )\left (x ^{2}+2x+4 \right )}{ \left (x+2 \right )\left (x ^{2}-2x+4 \right )} \cdot \frac{x+2}{x-2}$

$=\frac{ x ^{2}+2x+4 }{ x ^{2}-2x+4 }$

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问题2423:行为的数学

给出产品的简化形式:

$\frac{x^{2}- 4x+4}{x^{2}-16} \cdot \frac{ x^{2}+ 8x + 16}{ x^{2}- 4 }$

可能的答案:

$\frac{x^{2}+6x+8 }{x^{2} -6x+8}$

$\frac{x^{2} -6x+8}{x^{2}+6x+8 }$

$\frac{x^{2} +2x-8}{ x^{2} -2x-8 }$

$\frac{x^{2} -2x-8}{ x^{2} +2x-8 }$

正确答案:

$\frac{x^{2} +2x-8}{ x^{2} -2x-8 }$

解释：

把分子和分母分解，交叉消去公因数，然后相乘。两个分子都是完全平方三项式;两个分母都是平方之差。

$\frac{x^{2}- 4x+4}{x^{2}-16} \cdot \frac{ x^{2}+ 8x + 16}{ x^{2}- 4 }$

$=\frac{(x-2)(x-2)}{(x+4)(x-4)} \cdot \frac{(x+4)(x+4)}{ (x+2)(x-2) }$

$=\frac{(x-2) }{ (x-4)} \cdot \frac{(x+4) }{ (x+2) }$

$=\frac{(x-2)(x+4) }{ (x-4)(x+2) }$

$=\frac{x^{2} +2x-8}{ x^{2} -2x-8 }$

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问题#2424:行为的数学

给出产品的简化形式:

$\frac{x^{2}-x}{x+1} \cdot \frac{x^{2}+1}{ x^{2}-2x+1}$

可能的答案:

$\frac{x^{3}+x}{ x^{2}-1 }$

$\frac{x^{3} }{ x^{2}-1 }$

$\frac{x^{2} }{ x -1 }$

$\frac{x^{2}+x}{ x -1 }$

正确答案:

$\frac{x^{3}+x}{ x^{2}-1 }$

解释：

把分子和分母分解，交叉消去公因数，然后相乘。注意，第二个分子是质数。

$\frac{x^{2}-x}{x+1} \cdot \frac{x^{2}+1}{ x^{2}-2x+1}$

$=\frac{x(x-1)}{x+1} \cdot \frac{x^{2}+1}{ (x-1)(x-1)}$

$=\frac{x }{x+1} \cdot \frac{x^{2}+1}{ x-1 }$

$= \frac{x^{3}+x}{ x^{2}-1 }$

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