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ACT数学:如何求切线的方程

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例子问题

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问题1:如何求切线方程

圆A以原点为圆心，半径为5。与圆A相切的直线在点(- 3,4)处的方程是什么?

可能的答案:

3.x+ 4y= 7

3x+ 4y= 1

3.x- 4y= 1

3.x- 4y= -25

正确答案:

3.x- 4y= -25

解释：

直线必须垂直于(- 3,4)点的半径。半径的斜率由 Actmath_7_113_q7

半径的端点是(- 3,4)圆心是(0,0)所以斜率是-4/3。

切线的斜率必须垂直于半径的斜率，所以切线的斜率是3 / 4。

直线的方程是y- 4 = (3/4)(x(3))

重新排列给我们x- 4y= -25

问题2:如何求切线方程

用斜截式给出与圆相切的直线的方程

$x^{2}+ y^{2} = 225$

在这一点上 (12, -9) ．

可能的答案:

$y = \frac{4}{3} x- 25$

其他回答都没有给出正确答案。

$y = \frac{3} {4}x-18$

$y =- \frac{3} {4}x$

$y =-\frac{4}{3} x+7$

正确答案:

$y = \frac{4}{3} x- 25$

解释：

方程的图形 $x^{2}+ y^{2} = 225$ 圆是有圆心的吗 (0,0) ．

圆在某一点的切线垂直于该点的半径。带端点的半径 (0,0) 和 (12, -9) 都会有斜率

$\frac{ y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} } =\frac{-9 -0}{12-0} =\frac{-9 }{12 }=- \frac{3}{4}$ ，

所以切线是这个的倒数的对边，或者 $\frac{4}{3}$ 为其斜率。

因此切线有一个方程

$y - y_{1} = m (x-x_{1} )$

$y - (-9)= \frac{4}{3} (x-12 )$

$y +9= \frac{4}{3} x- 16$

$y = \frac{4}{3} x- 25$

问题3:如何求切线方程

用斜截式给出与圆相切的直线的方程

$x^{2}-6x + y^{2} - 91 = 0$

在这一点上 (-3, 8) ．

可能的答案:

$y = \frac{3}{4} x+\frac{41}{4}$

$y = \frac{4} {3}x+12$

$y =- \frac{3}{4} x+\frac{23}{4}$

$y =- \frac{4} {3}x+4$

其他回答都没有给出正确答案。

正确答案:

$y = \frac{3}{4} x+\frac{41}{4}$

解释：

把圆的方程写成标准形式求圆心:

$x^{2}-6x + y^{2} - 91 = 0$

$x^{2}-6x + y^{2} = 91$

完成正方形:

$x^{2}-6x+9 + y^{2} = 91+9$

$\left (x-3 \right )^{2} + y^{2} = 100$

中心是 (3,0) ．

圆在某一点的切线垂直于该点的半径。带端点的半径 (3,0) 和 (-3, 8) 都会有斜率

$\frac{ y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} } = \frac{8 -0}{-3-3} = \frac{8}{-6} = - \frac{4}{3}$ ，

所以切线是这个的倒数的对边，或者 $\frac{3}{4}$ 为其斜率。

因此切线有一个方程

$y - 8= \frac{3}{4} (x- (-3))$

$y - 8= \frac{3}{4} (x+3)$

$y - 8= \frac{3}{4} x+\frac{9}{4}$

$y = \frac{3}{4} x+\frac{41}{4}$

问题4:如何求切线方程

切线的方程是什么

y=x^2+4x+2

点 (1,7) ？

可能的答案:

y=6x+1

y=x+6

y=4x+1

y=x^2+4x+2

y=3x+1

正确答案:

y=6x+1

解释：

求tan的方程

y=x^2+4x+2

我们需要求出这个方程关于的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=2x+4

根据幂法则 $y=x^n \rightarrow y'=nx^{n-1}$ ．

首先我们需要通过代入求出斜率 $x_{1}$ 变成微分方程并求解。

因此，斜率为

$m=2x_{1}+4$

m=6 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 把这个点代入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

所以我们的方程变成，

y-7=6(x-1)

一旦我们重新排列，方程是

y=6x+1

问题5:如何求切线方程

的切线方程是什么

y=x^4+4x

点

(1,5) ？

可能的答案:

y=8x+8

y=8x+5

y=4

y=4x^3+4

y=8x-3

正确答案:

y=8x-3

解释：

求tan的方程

y=x^4+4x

我们需要求出这个方程关于的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=4x^3+4

根据幂法则 $y=ax^n \rightarrow y'=nax^{n-1}$ ．

首先我们需要通过代入求出斜率 $x_{1}$ 变成微分方程并求解。

因此，斜率为

$m=4x_{1}^3+4$

m=8 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 我们把它插入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-5=8(x-1)

一旦我们重新排列，方程是

y=8x-3

问题6:如何求切线方程

求到的切线方程

y=x^2

为了说明这一点

(0,0) ？

可能的答案:

y=2

y=1

y=x^2

y=2x

y=0

正确答案:

y=0

解释：

求tan的方程

y=x^2

我们需要求出这个方程关于的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=2x

根据幂法则 $y=x^n \rightarrow y'=nx^{n-1}$ ．

首先我们需要通过代入求出斜率 $x_{1}$ 变成微分方程并求解。

因此，斜率为

$m=2x_{1}$

m=0 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 把点代入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-0=0(x-0)

一旦我们重新排列，方程是

y=0

问题7:如何求切线方程

切线的方程是什么

y=5x^5+2

在这一点上

(1,7) ？

可能的答案:

y=18x-25

y=27x

y=25x-18

y=25x^4

y=25x^4+2

正确答案:

y=25x-18

解释：

求tan的方程

y=5x^5+2

我们需要求出这个方程关于的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=25x^4

根据幂法则 $y=ax^n \rightarrow y'=nax^{n-1}$ ．

首先我们需要通过代入求出斜率 $x_{1}$ 变成微分方程并求解。

因此，斜率为

$m=25x_{1}^4$

m=25 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 把这个点代入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-7=25(x-1)

一旦我们重新排列，方程是

y=25x-18

问题8:如何求切线方程

求到的切线方程

y=x^2+1

在这一点上

(0,1) ？

可能的答案:

y=x^2

y=2x

y=2

y=0

y=1

正确答案:

y=1

解释：

求tan的方程

y=x^2+1

我们需要求出这个方程关于的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=2x

根据幂法则 $y=x^n \rightarrow y'=nx^{n-1}$ ．

首先我们需要通过代入求出斜率 $x_{1}$ 变成微分方程并求解。

因此，斜率为

$m=2x_{1}$

m=0 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 把点代入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-1=0(x-0)

一旦我们重新排列，方程是

y=1

问题9:如何求切线方程

切线的方程是什么

y=x^3+2

点

(2,10) ？

可能的答案:

y=x^3+2

y=12x-14

y=3x^2

y=14x-12

y=12x

正确答案:

y=12x-14

解释：

求tan的方程

y=x^3+2

我们需要求出这个方程关于的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=3x^2

根据幂法则 $y=ax^n \rightarrow y'=nax^{n-1}$ ．

首先我们需要通过代入求出斜率 $x_{1}$ 变成微分方程并求解。

因此，斜率为

$m=3x_{1}^2$

m=12 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ ，把这个点代入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-10=12(x-2)

一旦我们重新排列，方程是

y=12x-14

问题10:如何求切线方程

求切线方程

y=x^2+3

点

(0,3) ？

可能的答案:

y=3x

y=2x

y=x^2+3

y=3

y=2

正确答案:

y=3

解释：

求tan的方程

y=x^2+3

我们需要求出这个方程关于的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=2x

根据幂法则 $y=ax^n \rightarrow y'=nax^{n-1}$ ．

首先我们需要求出点的斜率 $x_{1}$ 把这个值代入导数方程求解。

因此，斜率为

$m=2x_{1}$

m=0 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$

我们插入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-3=0(x-0)

一旦我们重新排列，方程是

y=3

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