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ACT数学:坐标平面

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例子问题

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例子问题1:如何求切线的斜率

在坐标平面上有一个圆。它的周长穿过这个点 (1,0)

(1,0)

．这一点与一条切线相交，切线也经过该点 (5,7)

(5,7)

．垂直于这条切线的直线的斜率是多少?

可能的答案:

$-\frac{7}{4}$

$\frac{7}{6}$

$-\frac{4}{7}$

$\frac{4}{7}$

$\frac{7}{4}$

正确答案:

$-\frac{4}{7}$

解释：

在这类问题中，重要的是要跟踪与你感兴趣的领域有关的信息。在这种情况下，给定的坐标为我们能够到达焦点线建立了基础——垂直于切线的直线。为了确定垂线的斜率，必须计算切线的斜率。请记住:

$slope =\frac{rise}{run}=\frac{\Delta y}{\Delta x} =\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$

其中y2,x2, y1,x1是任意赋值的只要保持赋值顺序。

$\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}=\frac{7-0}{5-1}=\frac{7}{4}$ 也就是切线的斜率。

要计算垂线，我们必须记住切线斜率和垂线斜率的乘积是-1。

$\frac{7}{4} x \frac{?}{?} = -1$ ，则垂直斜率可计算为 $\frac{-4}{7}$

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例子问题2:如何求切线的斜率

求切线的斜率 y=2x^2-16x+21 在哪里 x=2 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了求切线的斜率，我们必须求导。

利用幂法则，我们可以求出导数:

$f(x)=a^n \rightarrow f'(x)=na^{n-1}$

因此,导 2x^2-16x+21 是 4x-16 ．

现在我们代入 x=2 ,让我们 8-16=-8 ．

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示例问题3:如何求切线的斜率

一条直线与圆在该点相切 (4,2) ．这条直线穿过原点。求切线的斜率。

可能的答案:

不能确定的

0.5

0.33

正确答案:

0.5

解释：

关于这条切线唯一的两点信息就是它穿过这些点 (4,2) 而且 (0,0) ．有了这两点，直线的斜率可以很容易地通过公式计算: $m=\frac{rise}{run}=\frac{\Delta y}{\Delta x}= \frac{y_{1}-y_{2}}{x_{1}-x_{2}}$

在哪里坡,是点的-坐标，和是点的-坐标。

斜率可通过将给定值代入来计算:

$m=\frac{2-0}{4-0}$

$m=\frac{2}{4}$

m= 0.5

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例子问题1:如何求切线方程

圆A以原点为圆心，半径为5。与圆A相切于点(- 3,4)的直线方程是什么?

可能的答案:

3.x- 4y= -25

3.x+ 4y= 7

3x+ 4y= 1

3.x- 4y= 1

正确答案:

3.x- 4y= -25

解释：

这条直线必须垂直于(- 3,4)点的半径。半径的斜率由 Actmath_7_113_q7

半径的端点是(- 3,4)圆心是(0,0)所以斜率是-4/3。

切线的斜率一定垂直于半径的斜率，所以这条线的斜率是3 / 4。

直线的方程是y- 4 = (3/4)(x(3))

重新排列得到:3x- 4y= -25

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例子问题2:如何求切线方程

给出与方程圆相切的直线的斜截式方程

$x^{2}+ y^{2} = 225$

在点 (12, -9) ．

可能的答案:

$y = \frac{4}{3} x- 25$

其他的答案都不正确。

$y = \frac{3} {4}x-18$

$y =- \frac{3} {4}x$

$y =-\frac{4}{3} x+7$

正确答案:

$y = \frac{4}{3} x- 25$

解释：

方程的图形 $x^{2}+ y^{2} = 225$ 圆有圆心吗 (0,0) ．

圆在某一点的切线垂直于该点的半径。有端点的半径 (0,0) 而且 (12, -9) 将边坡

$\frac{ y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} } =\frac{-9 -0}{12-0} =\frac{-9 }{12 }=- \frac{3}{4}$ ，

所以切线和这个的倒数是对边，或者说 $\frac{4}{3}$ 为其斜率。

因此切线有方程

$y - y_{1} = m (x-x_{1} )$

$y - (-9)= \frac{4}{3} (x-12 )$

$y +9= \frac{4}{3} x- 16$

$y = \frac{4}{3} x- 25$

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示例问题3:如何求切线方程

给出与方程圆相切的直线的斜截式方程

$x^{2}-6x + y^{2} - 91 = 0$

在点 (-3, 8) ．

可能的答案:

$y = \frac{3}{4} x+\frac{41}{4}$

$y = \frac{4} {3}x+12$

$y =- \frac{3}{4} x+\frac{23}{4}$

$y =- \frac{4} {3}x+4$

其他的答案都不正确。

正确答案:

$y = \frac{3}{4} x+\frac{41}{4}$

解释：

将圆的方程写成标准形式求圆心:

$x^{2}-6x + y^{2} - 91 = 0$

$x^{2}-6x + y^{2} = 91$

完整的广场:

$x^{2}-6x+9 + y^{2} = 91+9$

$\left (x-3 \right )^{2} + y^{2} = 100$

该中心是 (3,0) ．

圆在某一点的切线垂直于该点的半径。有端点的半径 (3,0) 而且 (-3, 8) 将边坡

$\frac{ y_{2} - y_{1} }{x_{2} - x_{1} } = \frac{8 -0}{-3-3} = \frac{8}{-6} = - \frac{4}{3}$ ，

所以切线和这个的倒数是对边，或者说 $\frac{3}{4}$ 为其斜率。

因此切线有方程

$y - 8= \frac{3}{4} (x- (-3))$

$y - 8= \frac{3}{4} (x+3)$

$y - 8= \frac{3}{4} x+\frac{9}{4}$

$y = \frac{3}{4} x+\frac{41}{4}$

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示例问题4:如何求切线方程

切线的方程是什么

y=x^2+4x+2

点 (1,7) ?

可能的答案:

y=6x+1

y=x+6

y=4x+1

y=x^2+4x+2

y=3x+1

正确答案:

y=6x+1

解释：

求切线的方程

y=x^2+4x+2

我们需要求出这个方程的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=2x+4

由于幂法则 $y=x^n \rightarrow y'=nx^{n-1}$ ．

首先我们需要通过代入求斜率 $x_{1}$ 转化为导数方程并求解。

因此，斜率为

$m=2x_{1}+4$

m=6 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 我们把这个点代进去

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是，

y-7=6(x-1)

一旦我们重新排列，方程是

y=6x+1

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示例问题5:如何求切线方程

它的切线方程是什么

y=x^4+4x

点

(1,5) ?

可能的答案:

y=8x+8

y=8x+5

y=4

y=4x^3+4

y=8x-3

正确答案:

y=8x-3

解释：

求切线的方程

y=x^4+4x

我们需要求出这个方程的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=4x^3+4

由于幂法则 $y=ax^n \rightarrow y'=nax^{n-1}$ ．

首先，我们需要通过代入 $x_{1}$ 转化为导数方程并求解。

因此，斜率为

$m=4x_{1}^3+4$

m=8 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 我们把它代入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-5=8(x-1)

一旦我们重新排列，方程是

y=8x-3

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示例问题6:如何求切线方程

求出切线的方程

y=x^2

的点

(0,0) ?

可能的答案:

y=2

y=1

y=x^2

y=2x

y=0

正确答案:

y=0

解释：

求切线的方程

y=x^2

我们需要求出这个方程的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=2x

由于幂法则 $y=x^n \rightarrow y'=nx^{n-1}$ ．

首先，我们需要通过代入 $x_{1}$ 转化为导数方程并求解。

因此，斜率为

$m=2x_{1}$

m=0 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 我们把点代入

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-0=0(x-0)

一旦我们重新排列，方程是

y=0

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示例问题7:如何求切线方程

切线的方程是什么

y=5x^5+2

在点

(1,7) ?

可能的答案:

y=18x-25

y=27x

y=25x-18

y=25x^4

y=25x^4+2

正确答案:

y=25x-18

解释：

求切线的方程

y=5x^5+2

我们需要求出这个方程的一阶导数求斜率切线的。

所以,

y'=25x^4

由于幂法则 $y=ax^n \rightarrow y'=nax^{n-1}$ ．

首先，我们需要通过代入 $x_{1}$ 转化为导数方程并求解。

因此，斜率为

$m=25x_{1}^4$

m=25 ．

求给定点的切线方程 $(x_{1},y_{1})$ 我们把这个点代进去

$y-y_{1}=m(x-x_{1})$ ．

因此我们的方程是

y-7=25(x-1)

一旦我们重新排列，方程是

y=25x-18

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鲍尔州立大学，历史学学士。西北大学，在读研究生，创意写作专业。

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俄亥俄大学，工商管理学士学位。

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德克萨斯大学布朗斯维尔分校，学士，数学。德克萨斯大学布朗斯维尔分校，数学硕士。

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