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ACT数学:如何除复数

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例子问题

例子问题1:如何除复数

简化: $\frac{9+4i}{4i}$

可能的答案:

$-\frac{ 9 }{4 } + i$

$\frac{ 9 }{4 } - i$

$1+ \frac{ 9 }{4 } i$

$1- \frac{ 9 }{4 } i$

$\frac{ 9 }{4 } + i$

正确答案:

$1- \frac{ 9 }{4 } i$

解释：

数和分母同时乘以：

$\frac{9+4i}{4i}$

$= \frac{\left (9+4i \right )\cdot i}{4i \cdot i}$

$= \frac{9i + 4i^{2}}{4 i^{2}}$

$= \frac{9i + 4 (-1)}{4 (-1)}$

$= \frac{-4+9i }{-4 }$

$= \frac{-4 }{-4 }+ \frac{ 9i }{-4 }$

$= 1- \frac{ 9 }{4 } i$

例子问题2:如何除复数

评估: $100 \div 5i \div 5i$

可能的答案:

-4i

100i

正确答案:

解释：

首先，用100除以如下:

$\frac{100}{5i} = \frac{100 \cdot i}{5i \cdot i} = \frac{100 i}{5(-1)} = \frac{100 i}{-5}= -20i$

现在把这个结果除以：

$\frac{-20i}{5i} = \frac{-20}{5} = -4$

例子问题3:如何除复数

评估: $100 \div (1+i) \div (1-i)$

可能的答案:

25+ 25i

-25 +25i

25-25i

正确答案:

解释：

首先，用100除以 1+i 如下:

$\frac{100}{1+i}$

$=\frac{100(1-i)}{\left (1+i \right )(1-i)}$

$= \frac{100-100i}{1^{2}+1^{2}}$

$= \frac{100-100i}{2}$

= 50-50i

然后除以 1-i ：

$\frac{ 50-50i}{1-i} = \frac{ 50 (1-i)}{1-i} = 50$

问题4:如何除复数

评估: $100i \div (4i )^{2}$

可能的答案:

$- \frac{25}{4}$

$- \frac{25}{4}i$

$-\frac{25}{2}$

$\frac{25}{4}i$

$\frac{25}{2}i$

正确答案:

$- \frac{25}{4}i$

解释：

首先,评估 $(4i)^{2}$ ：

$\left (4i \right )^{2} = 16 i^{2} = 16 (-1)= -16$

现在把它分成 100 i ：

$\frac{100 i}{-16} =- \frac{25}{4}i$

例5:如何除复数

评估: $i \div \left ( 1+ i\right )^{2}$

可能的答案:

$\frac{1}{2} i$

$-\frac{1}{2} i$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

首先,评估 $\left ( 1+ i\right )^{2}$ 使用方形模式:

$\left ( 1+ i\right )^{2}$

$=1^{2}+ 2 \cdot 1 \cdot i+ i^{2}$

=1+2i+ (-1)

=2i

把它分成：

$\frac{i}{2i} = \frac{1}{2}$

例子问题6:如何除复数

复数采用这种形式 a+bi ,在那里实数是复数中的和吗是复数中的非实数(虚数)项。

简化: $\frac{6+12i}{4}$

可能的答案:

$\textup{None of these answers are correct}$

$\frac{3}{2} + \frac{12i}{4i}$

$\frac{3}{2} + 12i$

$\frac{3}{2} + 3i$

6 + 3i

正确答案:

$\frac{3}{2} + 3i$

解释：

这个问题的解决方法与二项式非常相似，例如 a+bx ．在这种情况下，复数中的实数和非实数都可以被实数除数除。

$\frac{6+12i}{4} = (\frac{6}{4} + \frac{12i}{4})$

$\frac{12i}{4} = \frac{12}{4} \cdot i = 3 \cdot i = 3i$ ,所以

$\frac{3}{2} + 3i$

示例问题7:如何除复数

复数采用这种形式 a+bi ,在那里实数是复数中的和吗是复数中的非实数(虚数)项。

用共轭化简: $\frac{4+2i}{-3-2i}$

可能的答案:

$\frac{-16-2i}{5}$

$\frac{-16+2i}{-13}$

$\frac{-16-2i}{13}$

$\frac{-8-2i}{13}$

$\frac{-8-2i}{5}$

正确答案:

$\frac{-16-2i}{13}$

解释：

用共轭来解这个问题就像用共轭二项式来化简分母一样。

$\frac{(4+2i)(-3+2i)}{(-3-2i)(-3+2i)}$ 两边同乘以分母的共轭。

$\frac{(4+2i)(-3+2i)}{(-3-2i)(-3+2i)} = \frac{(4+2i)(-3+2i)}{13}$ 简化。请注意．

结合和简化。

化简分子。

$\frac{-16-2i}{13}$ 质数分母阻止进一步简化。

因此, $\frac{4+2i}{-3-2i} = \frac{-16-2i}{13}$ ．

例8:如何除复数

简化:

${}\frac{5+7i}{2+i}$

可能的答案:

$\frac{17}{5}+\frac{9}{5}i{}$

$\frac{5}{2}+\frac{7}{2}i{}$

$\frac{5}{7}+2i{}$

1+3i{}

正确答案:

$\frac{17}{5}+\frac{9}{5}i{}$

解释：

这个问题可以用类似于其他除法问题的方法来解决(例如，用二项式除法)。我们需要把虚数从分母中求出来，所以我们要把分母乘以它的共轭数，再把分母乘以它，以保持数字的值。

$\frac{5+7i}{2+i} \cdot \frac{2-i}{2-i}=\frac{10-5i+14i-7i^2}{4-i^2}{}$

然后,回忆 i^2 = -1 根据定义，我们可以进一步简化:

$\frac{10+7+14i-5i}{4+1} = \frac{17}{5}+\frac{9}{5}i{}$

这是我们能化简的范围，所以这是最终答案。

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Venkata Naga Sreelalitapriya
认证导师

中佛罗里达大学，生物技术学士。

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约翰尼
认证导师

奥克伍德大学，学士，生物学，普通。德州卫斯理大学理科硕士

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山姆
认证导师

埃塞克斯大学，电信技术学士。英国赫特福德大学，理学硕士，理学硕士。

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