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ACT数学:平方/平方根/根号

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例子问题

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例子问题1:如何求差的平方

$\small (3a-2b)^{2}$ 可以改写为:

可能的答案:

$\small 9a^{2}+4b^{2}$

$\small 9a^{2}-12ab+4b^{2}$

$\small 9a^{2}+12ab+4b^{2}$

$\small 9a^{2}-6ab+4b^{2}$

$\small 9a^{2}-4b^{2}$

正确答案:

$\small 9a^{2}-12ab+4b^{2}$

解释：

用这个公式来解差的平方， $\small (x-y)^{2}=x^{2}-2xy+y^{2}$ ．在这种情况下， $\small \small \small (3a-2b)^{2}=9a^{2}-12ab+4b^{2}$

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例子问题1:如何求差的平方

扩展:

(2x-6)^2

可能的答案:

2x^2-12x+24

4x^2-24x+36

4x-12

4x^2-12x+36

正确答案:

4x^2-24x+36

解释：

要将差值乘以平方，先对第一项进行平方，然后再加上两项相乘的两倍。然后加上第二项的平方。

(2x^)^2+2(2x)(-6)+(-6)^2=4x^2-24x+36

报告错误

例子问题1:如何求差的平方

表达式 $\frac{x^2-25}{x^2+11x+30}$ 等价于:

可能的答案:

$\frac{x+5}{x-6}$

x+6

$\frac{x-6}{x-5}$

$\frac{x-5}{x+6}$

$\frac{x+6}{x+5}$

正确答案:

$\frac{x-5}{x+6}$

解释：

首先，我们需要分别分解分子和分母，然后消去相似的项。我们将从分子开始，因为它可以很容易地分解为两个平方之差。

x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)

现在把二次式分解到分母上。

x^2 + 11x + 30 = (x + 5)(x + 6)

把这些因式分解代回原来的表达式。

$\frac{(x+5)(x-5)}{(x+5)(x+6)}$

的 (x+5) 两项约掉，得到如下结果:

$\frac{x-5}{x+6}$

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例子问题1:平方/平方根/根号

计算下面的表达式:

$2^{5}+(5*2)^{2}$

可能的答案:

132

110

164

正确答案:

132

解释：

2的5次方等于2自身乘以5倍

2⁵= 2x2x2x2x2 = 32

然后，在取指数之前，必须先乘以5x2，得到10²= 100。

100 + 32 = 132

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例子问题1:如何求和的平方

扩展:

(3x+5)^2

可能的答案:

6x+10

9x^2+30x+25

9x^2-30x+25

9x^2+25

正确答案:

9x^2+30x+25

解释：

要将差值乘以平方，先对第一项进行平方，然后再加上两项相乘的两倍。然后加上第二项的平方。

(3x)^2+2(3x)(5)+(5)^2=9x^2+30x+25

报告错误

例子问题3:如何求和的平方

下面哪个是的平方 4x + 7y ?

可能的答案:

$16x^{2}+ 11xy+ 49y^{2}$

$16x^{2}+ 28xy+ 49y^{2}$

$16x^{2}+ 56xy+ 49y^{2}$

$16x^{2}+ 22xy+ 49y^{2}$

$16x^{2} + 49y^{2}$

正确答案:

$16x^{2}+ 56xy+ 49y^{2}$

解释：

使用和式的平方，进行替换为而且为在模式中:

$(A+ B)^{2}= A^{2}+ 2AB + B^{2}$

$(4x + 7y)^{2}= (4x)^{2}+ 2 (4x) (7y) + (7y)^{2}$

$= 16x^{2}+ 56xy + 49y^{2}$

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例子问题1:如何求和的平方

下面哪个是的平方 $5 \sqrt{x} +3 \sqrt{y}$ ?

你可以两者都假设而且是积极的。

可能的答案:

25x + 9y

$5x + 3y+ 15\sqrt{xy}$

$25x + 9y+ 30 \sqrt{xy}$

$5x + 3y+ 30\sqrt{xy}$

$25x + 9y+ 15\sqrt{xy}$

正确答案:

$25x + 9y+ 30 \sqrt{xy}$

解释：

使用和式的平方，进行替换 $5 \sqrt{x}$ 为而且 $3 \sqrt{y}$ 为在模式中:

$(A+ B)^{2}= A^{2}+ 2AB + B^{2}$

$(5 \sqrt{x}+3 \sqrt{y})^{2}= (5 \sqrt{x})^{2}+ 2 (5 \sqrt{x})\left (3 \sqrt{y} \right ) + \left (3 \sqrt{y} \right )^{2}$

$(5 \sqrt{x}+3 \sqrt{y})^{2}= 25x+ 30 \sqrt{xy} + 9y$

或

$25x + 9y+ 30 \sqrt{xy}$

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例5:如何求和的平方

下面哪个是的平方 $x^{2}+ x + 7$ ?

可能的答案:

$x^{4}+ x^{2}+ 49$

$x^{4}+ x^{3}+14x^{2}+14x+49$

$x^{4}+2x^{3}+8x^{2}+8x+49$

$x^{4}+2x^{3}+15x^{2}+14x+49$

$x^{4}+ x^{3}+14x^{2}+7x+49$

正确答案:

$x^{4}+2x^{3}+15x^{2}+14x+49$

解释：

垂直相乘如下:

$\begin{matrix} x^{2}+ \; \; \; x +\; \; \; 7\\\underline{x^{2}+\; \; \; x +\; \; \; 7} \end{matrix}$

$7 x^{2}+7 x +49$

$x^{3}+ x^{2} + 7x$

$\underline{x^{4}+ x^{3}+7 x^{2} \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; \; }$

$x^{4}+2x^{3}+15x^{2}+14x+49$

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例子问题6:如何求和的平方

下面哪个是的平方 $y + \sqrt{17}$ ?

可能的答案:

$y^{2}+ 17y+17$

其他答案中没有给出正确答案。

$y^{2}+ y\sqrt{34}+17$

$y^{2}+ 34y+17$

$y^{2}+ y\sqrt{17}+17$

正确答案:

其他答案中没有给出正确答案。

解释：

使用和式的平方，进行替换为而且 $\sqrt{17}$ 为在模式中:

$(A+ B)^{2}= A^{2}+ 2AB + B^{2}$

$(y + \sqrt{17})^{2}= y^{2}+ 2y \sqrt{17} + (\sqrt{17})^{2}$

$(y + \sqrt{17})^{2}= y^{2}+ 2y \sqrt{17} + 17$

它不等于任何一个给定的选项。

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示例问题7:如何求和的平方

下面哪个是的平方 $\frac{1}{4}x + \frac{1}{7}$ ?

可能的答案:

$\frac{1}{8}x ^{2}+ \frac{1}{14}x +\frac{1}{14}$

$\frac{1}{16}x ^{2}+ \frac{1}{14}x +\frac{1}{49}$

$\frac{1}{16}x ^{2}+ \frac{1}{56}x +\frac{1}{49}$

$\frac{1}{8}x ^{2}+ \frac{1}{28}x +\frac{1}{14}$

$\frac{1}{16}x ^{2}+ \frac{1}{28}x +\frac{1}{49}$

正确答案:

$\frac{1}{16}x ^{2}+ \frac{1}{14}x +\frac{1}{49}$

解释：

使用和式的平方，进行替换 $5 \sqrt{x}$ 为而且 $3 \sqrt{y}$ 为在模式中:

$(A+ B)^{2}= A^{2}+ 2AB + B^{2}$

$\left (\frac{1}{4}x + \frac{1}{7} \right )^{2}= \left (\frac{1}{4}x \right )^{2}+ 2 \left (\frac{1}{4}x \right )\left (\frac{1}{7} \right ) + \left (\frac{1}{7} \right )^{2}$

$= \frac{1}{16}x ^{2}+ \frac{1}{14}x +\frac{1}{49}$

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