例子问题
例子问题1:和与积恒等式
找到不用计算器。
要回答这个问题,请使用sin的求和公式:
例子问题1:和与积恒等式
用三角恒等式化简如下表达式:
不能再减了吗
为了简化给定的方程,我们应该首先尝试确定是否可以利用适用于三角学的勾股定理。我们首先这样做是因为所涉及的函数的阶数较高。我们可以注意到,如果我们把高阶正弦和高阶余弦组合在一起,我们实际上可以得到一些常见的项:
现在我们注意到,我们可以进一步对这些项进行分组:
前一个方程中的第一项实际上是应用于三角学的毕达哥拉斯定理,第二项是关于正弦函数的两个角的和:
这就简化为sin的求和函数:
例子问题1:和与积恒等式
没有计算器的帮助,计算的确切值
为了确定一个确切的值,我们想把角分成几个角,我们可以确定准确的值;这些是的倍数,,,,.由于给定角的分母是12,我们必须有两个分母为12的分数,这对是3和4,或者2和6。我们可以写出一个代数方程来帮助我们确定这些值:
在哪里而且都是整数。如果我们求出公分母是12
现在我们可以化简方程得到一个更简单的形式:
用这个方程很容易看出来而且运算就是减法。因此,将方程改写为:
我们简单地把分数化简到最小项。现在我们有了两个已知角的和,我们可以简单地继续写出适当的公式:
我们知道对应角的值我们必须注意这个角所在的象限,这两个角都在第一象限这意味着所有的值都是正的。
这可以简化为:
问题4:和与积恒等式
没有计算器的帮助,计算的确切值
为了确定一个确切的值,我们想把角分成几个角,我们可以确定准确的值;这些是的倍数,,,,.由于给定角的分母是12,我们必须有两个分母为12的分数,这对是3和4,或者2和6。我们可以写出一个代数方程来帮助我们确定这些值:
在哪里而且都是整数。如果我们求出公分母是12
现在我们可以化简方程得到一个更简单的形式:
用这个方程很容易看出来而且运算就是加法。因此,将方程改写为:
我们简单地把分数化简到最小项。现在我们有了两个已知角的和,我们可以简单地继续写出适当的公式:
我们知道对应角的值我们必须注意这个角所在的象限,这两个角都在第一象限这意味着所有的值都是正的。
这可以简化为:
例5:和与积恒等式
没有计算器的帮助,计算的确切值
为了确定一个确切的值,我们想把角分成几个角,我们可以确定准确的值;这些是的倍数,,,,.由于给定角的分母是12,我们必须有两个分母为12的分数,这对是3和4,或者2和6。我们可以写出一个代数方程来帮助我们确定这些值:
在哪里而且都是整数。如果我们求出公分母是12
现在我们可以化简方程得到一个更简单的形式:
使用这个方程,我们实际上需要将分数翻转如下:
现在我们可以得到正确的值;而且运算就是减法。因此,将方程改写为:
我们简单地把分数化简到最小项。现在我们有了两个已知角的和,我们可以简单地继续写出适当的公式:
我们知道对应角的值我们必须注意这个角所在的象限,角A在第一象限这意味着所有的值都是正的,而第二个角B,我们在第二象限所以sin是正的其他函数都是负的。
这可以简化为:
最后得到解:
例子问题6:和与积恒等式
的相移是什么?
这里的关键是使用和/积恒等式:
在这种情况下,而且.还要注意,因为减去,就会变成.利用恒等式,我们可以表述为…
记住,对于正弦函数的形式
...相移等于。