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三角学:勾股定理

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例子问题

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例子问题1:毕达哥拉斯的身份

简化 $\frac{1}{1-\cos^2\theta}$ ．

可能的答案:

$\frac{1}{1-\cos^2\theta}$

$\sin\theta\cos\theta$

$\csc^2\theta$

$\sec^2\theta$

正确答案:

$\csc^2\theta$

解释：

为了简化，认识到这一点 $1-\cos^2\theta$ 正在重做吗 $\sin^2+\cos^2=1$ ，这意味着 $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$ ．

把它代入已知方程

$\frac{1}{1-\cos^2\theta}=\frac{1}{\sin^2\theta}$

记住, $\csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}$ ,所以 $\frac{1}{\sin^2\theta}=\csc^2\theta$ ．

例子问题1:毕达哥拉斯的身份

简化 $\frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$ ．

可能的答案:

$\tan\theta$

$\csc\theta-\cos\theta$

$\sec^2\theta$

$\cos\theta$

$\cot\theta$

正确答案:

$\tan\theta$

解释：

认识到, $1-\cos^2\theta$ 正在重做吗 $\sin^2+\cos^2=1$ ，这意味着 $1-\cos^2\theta=\sin^2\theta$ ．

把它代入已知方程

$\frac{1-\cos^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}=\frac{\sin^2\theta}{\sin\theta\cos\theta}$

注意其中一个 $\sin\theta$ 消掉了。

$\frac{\sin\theta}{\cos\theta}=\tan\theta$ ．

例子问题1:毕达哥拉斯的身份

$\frac{1}{(cos (33^{\circ}))^{2}} - (tan (33^{\circ}))^{2} = ?$

可能的答案:

0

$3\sqrt{3}$

－1

1

$\frac{5\sqrt{2}}{2}$

正确答案:

1

解释：

$\frac{1}{(cos (33^{\circ}))^{2}} - (tan (33^{\circ}))^{2} = (sec (33^{\circ}))^{2}- (tan (33^{\circ}))^{2}$

回想一下毕达哥拉斯的同一性:

$1 + (tan x)^{2} = (sec x)^{2}$

我们可以重新安排一下条款:

$1 = (sec x)^{2} - (tan x)^{2}$

这就是原来的方程，所以答案是1。

例子问题2:三角恒等式

用恒等式化简方程:

$\cot^{2}x\cos x \sin x+ \cos x \sin x$

可能的答案:

$1-\csc x$

$\cos^{2}x$

1

$\cot x$

$\sin x$

正确答案:

$\cot x$

解释：

有一些有效的策略可以解决这个问题。最简单的方法是先提出来 $\cos x\sin x$ 双方都有。这给我们留下了:

$\cot^{2}x\cos x\sin x + \cos x \sin x = (\cos x \sin x)(cot^{2}x + 1)$

接下来，用已知的标识进行替换 $\cot^{2}x + 1=\csc^{2}x$ 得到:

$\cos x\sin x (\csc^{2}x)$

从这里，我们可以通过转换来消除二次元:

$\csc^{2}x= \frac{1}{\sin^{2}x}$

给我们

$\frac{\cos x\sin x}{\sin^{2}x}=\frac{\cos x}{\sin x}= \cot x$

因此,

$\cot^{2}x\cos x\sin x+\cos x\sin x = \cot x$

例子问题1:毕达哥拉斯的身份

简化表达式: $(1+\cos a)(1-\cos a)$

可能的答案:

$1-\cos^{2}a$

$\sin^{2}a$

这个方程不能再简化了。

$\sin a$

$\cos a$

正确答案:

$\sin^{2}a$

解释：

表达式 $(1-\cos a)(1+\cos a)$ 代表一个平方之差。在这种情况下，乘积是 $1-\cos^{2}a$ (记住1也是完全平方)。

三角函数的一个勾股定理是:

$1-\cos^{2}a = \sin^{2}a$

因此，我们可以说这个表达式的最简化版本是 $\sin^{2}a$ ．

例子问题6:三角恒等式

如果在第二象限 $sin(\theta)= \frac{3}{5}$ ，什么是 $cos(\theta)$ ?

可能的答案:

$-\frac{4}{5}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{4}{5}$

$-\frac{3}{5}$

$\frac{5}{3}$

正确答案:

$-\frac{4}{5}$

解释：

写出毕达哥拉斯的同一性。

$sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1$

代入 $sin(\theta)$ 解出 $cos(\theta)$ ．

$(\frac{3}{5})^2+cos^2(\theta)=1$

$cos^2(\theta)=1-(\frac{3}{5})^2$

$cos^2(\theta)=1-(\frac{3}{5})^2= \frac{25}{25}-\frac{9}{25}=\frac{16}{25}$

$cos(\theta)=\pm \sqrt{\frac{16}{25}}=\pm \frac{4}{5}$

由于余弦函数在第二象限，正确答案是:

$cos(\theta)=-\frac{4}{5}$

示例问题7:三角恒等式

的值下面这个等式对吗?

sin(x)cos(x)tan(x) =1-cos^2(x)

可能的答案:

$\mathbb{R}=(-\infty, \infty )$

$x = 90^{\circ}, 180^{\circ}, 270^{\circ}$

$0^{\circ}\leq x <360^{\circ}$

$0^{\circ}\leq x \leq 180^{\circ}$

$0^{\circ}\leq x \leq 90^{\circ}$

正确答案:

$\mathbb{R}=(-\infty, \infty )$

解释：

根据毕达哥拉斯的同一性

sin^2x+cos^2x=1 ，

这个方程的右边可以写成 sin^2x ．这就得到了方程

sinxcosxtanx =sin^2x ．

两边除以 sinx 收益率:

cosxtanx=sinx ．

两边除以 cosx 收益率:

$tanx=\frac{sinx}{cosx}$ ．

这正是正切函数的定义;因为域 tanx 由所有实数组成，的值满足原方程的也都是实数。因此，正确的答案是

$\mathbb{R}=(-\infty, \infty )$ ．

例8:三角恒等式

$\sin^2x + \cos^2x + \tan^2x =$

可能的答案:

$1-\cos^2x$

$\csc^2x$

$\tan^2x-\cot^2x$

$\sec^2x$

正确答案:

$\sec^2x$

解释：

根据毕达哥拉斯恒等式，前两项简化为1:

$\sin^2x+\cos^2x+\tan^2x=1+\tan^2x$ ．

毕达哥拉斯恒等式除以 $\cos^2x$ 可以化简右边。

$\frac{\sin^2x}{\cos^2x}+\frac{\cos^2x}{\cos^2x}=\frac{1}{\cos^2x}$

$\tan^2x+1=\sec^2x$

例子问题1:三角恒等式

是什么 sin^2x+cos^2x 等于什么?

可能的答案:

tan(x)

正确答案:

解释：

第一步:回想一下包含正弦和余弦的三角恒等式……

sin^2x+cos^2x=1

和等于1。

例子问题1:毕达哥拉斯的身份

鉴于 $\sin(\theta)=\frac{1}{4}$ ，什么是 $\cos(\theta)$ ?

可能的答案:

$\cos(\theta)=\pm15/4$

$\cos(\theta)=15/16$

$\cos(\theta)=15/4$

$\cos(\theta)=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}$

正确答案:

$\cos(\theta)=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}$

解释：

利用毕达哥拉斯恒等式

$\sin^2+\cos^2=1$ ，

可以解出 $\cos^2(\theta)$ 通过插入 (1/4)^2 为 $\sin^2$ ．

解 $\cos^2(\theta)$ ，就等于 15/16 ．

两边同时开根号就会得到正确的答案

$\cos(\theta)=\pm\sqrt{\frac{15}{4}}$ ．

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