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三角学:二重角的恒等式

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例子问题

问题41:三角恒等式

化简如下函数:

$f\left ( x\right ) = \frac{\cos^2x - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x}$

可能的答案:

$\csc^2 x -2$

$\frac{1}{2}\sin^2x$

$\tan 2x$

$1 - 2\sec^2 x$

正确答案:

$\csc^2 x -2$

解释：

我们需要使用以下公式:

一) $\cos 2x = 2\cos^2x - 1 = 1 - 2\sin^2x = \cos^2x - \sin^2x$

b) $\sin^2x + \cos^2 x = 1$

c) $\csc x = \frac{1}{\sin x}$

我们可以化简 $f\left ( x\right )$ 如下:

$f\left ( x\right ) = \frac{\cos^2x - \sin^2 x}{1 - \cos^2 x} = \frac{1 - 2\sin^2x}{\sin^2x} = \frac{1}{\sin^2x} - 2 = \csc^2x - 2$

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例子问题1:二重角的恒等式

鉴于 $\sin \left ( x\right ) = a$ ，什么是 $\cos \left ( 2x\right )$ 在这方面?

可能的答案:

$\frac{1}{2}\left ( a + 1\right )$

$\frac{a^2}{2}$

1 - 2a^2

a^2 - 1

正确答案:

1 - 2a^2

解释：

为了解决这个问题，我们需要使用公式:

$\cos\left ( 2x\right ) = 1 - 2\sin^2\left (x\right )$

替换 $\sin \left ( x\right ) = a$ ，我们得到

$\cos\left ( 2x\right ) = 1 - 2a^2$

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问题43:三角恒等式

利用三角恒等式，判断下列公式是否成立:

$\frac{2\cos A}{1 - \cos 2A} = \csc A \cot A$

可能的答案:

不确定的

仅在以下范围内: $0 < A < 2\pi$

真正的

假

仅在以下范围内: $0 < A < \frac{\pi}{2}$

正确答案:

真正的

解释：

为了证明这个三角方程，我们可以用方程的左边或右边，并试图使它们相等。我们将选择处理方程的左边。首先我们分离分数项:

$\frac{2}{1-\cos 2A} \cos A = \csc A \cot A$

我们把分数项分开，因为我们注意到这是一个双角。回想一下我们的三角恒等式，分数项是sin的幂减公式的倒数。

$\frac{1}{\sin^{2}A}\cos A = \csc A \cot A$

现在分离出sin项:

$\frac{1}{\sin A}\frac{\cos A}{\sin A} = \csc A \cot A$

现在回顾一下基本恒等式:

$\csc A \cot A = \csc A \cot A$

利用三角恒等式，我们证明了这个方程是正确的。

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例子问题1:二重角的恒等式

使用三角恒等式判断以下是否正确:

$\csc A \sec A = \frac{2}{\sin 2A}$

可能的答案:

仅在以下范围内: $0 < A < \frac{\pi}{2}$

真正的

仅在以下范围内: $0 < A < 2\pi$

不确定的

假

正确答案:

真正的

解释：

我们选择在给定的方程中使用哪一边。选择右边，因为它包含一个倍角，我们尝试使用倍角公式来确定等价性:

$\csc A \sec A = \frac{2}{2\sin A \cos A}$

接下来，我们减少和分割的分数如下:

$\csc A \sec A = \frac{1}{\sin A}\frac{1}{\cos A}$

回顾基本身份:

$\csc A \sec A = \csc A \sec A$

这证明了等价性。

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问题45:三角恒等式

利用倍角公式，求

$\sin \left(2*\frac{\pi}{3}\right)$ ．

可能的答案:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{2\sqrt3}{3}$

$\frac{1}{2}$

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{3}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

解释：

sin的两倍角的公式是 $\sin(2a)=2\sin (a)\cos(a)$

代入已知值求解。

$\sin(2*\frac{\pi}{3})=2\sin (\frac{\pi}{3})\cos(\frac{\pi}{3})$

$\sin(2*\frac{\pi}{3})=2*\frac{\sqrt{3}}{2}*\frac{1}{2}$

结合我们的条件。

$\sin(2*\frac{\pi}{3})=\frac{2\sqrt{3}}{4}$

$\sin(2*\frac{\pi}{3})=\frac{\sqrt{3}}{2}$

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问题46:三角恒等式

找到…的价值 $cos(2\theta)$ 如果 $sin(\theta)= \frac{2}{3}$ 的值 cos(x) 小于零。

可能的答案:

$-\frac{4}{9}$

$\frac{1}{9}$

$\frac{5}{9}$

$\frac{\sqrt{5}}{9}$

$-\frac{\sqrt5}{3}$

正确答案:

$\frac{1}{9}$

解释：

写出毕达哥拉斯的同一性。

$sin^2(\theta)+cos^2(\theta)=1$

代入 $sin(\theta)= \frac{2}{3}$ 解出 $(cos\theta)$ ．

$(\frac{2}{3})^{2}+cos^2(\theta)=1$

$cos^2(\theta)=1-\frac{4}{9}= \frac{5}{9}$

$cos(\theta)=\pm \sqrt \frac{5}{9}$

自 $(cos\theta)$ 必须小于零，选择负号。

$cos(\theta)=-\frac{\sqrt{5}}{3}$

写出的倍角恒等式 $cos(2\theta)$ ．

$cos(2\theta)= cos^2(\theta)-sin^2(\theta)$

代入已知值。

$(-\frac{\sqrt{5}}{3})^2-(\frac{2}{3})^2= \frac{5}{9}-\frac{4}{9}=\frac{1}{9}$

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问题47:三角恒等式

假设是第三象限的一个角，这样:

$tan\ X = 0.83$

价值是什么 $cos\ 2X$ ?

可能的答案:

0.14

0.32

0.18

-0.21

-0.08

正确答案:

0.18

解释：

我们可以利用以下三角恒等式:

sec^2 X = tan^2X + 1 = (0.83)^2 + 1 = 1.6889

然后我们可以做:

$cos^2X = \frac{1}{sec^2X} = \frac{1}{1.6889} = 0.5921$

有了这个值，我们可以方便地找到我们的解:

$cos \ 2X = 2cos^2 X -1 = 2 * 0.5921 - 1 = 0.1842 \approx 0.18$

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问题48:三角恒等式

的周期是多少 $f(x) = 2sin(\pi x)cos(\pi x)$ ?

可能的答案:

$2\pi$

$\pi$

0.5

正确答案:

解释：

这里的关键是双重角恒等式 sin(2ax) 来化简函数。

2sin(ax)cos(ax) = sin(2ax)

在这种情况下， $a = \pi$ ，这意味着……

$2sin(\pi x)cos(\pi x) = sin(2\pi x)$

从这里，我们可以利用周期 sin(bx) 或 cos(bx) 是 $\frac{2\pi}{b}$ ．因此,

$\frac{2\pi}{2\pi} = 1$

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问题41:三角函数

使用双重角度恒等式展开下面的表达式。

$\sin 4x$

可能的答案:

$2\sin 2x \cos x$

$4\sin x \cos ^3 x-4\sin^3\cos x$

$2 \cos^2 x \sin x-2\sin^2 x \cos x$

$\sin^4 x$

正确答案:

$4\sin x \cos ^3 x-4\sin^3\cos x$

解释：

自 $\sin 2x = 2\sin x\cos x$

而且 $\sin (4x) = \sin (2(2x))$ ，

然后 $\sin 4x = 2 \sin 2x \cos 2x$ ．

这里正弦和余弦都要用双重角恒等式，

$\sin 2x = 2\sin x\cos x$ 而且 $\cos 2x = \cos^2 x -\sin^2 x$ ．

使用这些标识:

$2 \sin 2x \cos 2x = 2(2\sin x \cos x)(\cos^2 x-\sin^2 x)$

利用分配律:

$4\sin x \cos^3 x - 4\sin^3 x \cos x$

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问题41:三角恒等式

化简如下函数:

$f\left ( x\right ) = \frac{1}{\cos^2x} - \frac{1-\cos2x}{1 + \cos2x}$

可能的答案:

$\tanx$ $\tan x$

$\tan^2x$

$\cos x$

正确答案:

解释：

我们需要使用以下公式:

一) $\sec x = \frac{1}{\cos x}$

b) $\sin^2x = \frac{1}{2}\left ( 1-\cos 2x\right )$

c) $\cos^2x = \frac{1}{2}\left ( 1+\cos 2x\right )$

d) $\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$

e) $\tan^2x + 1 = \sec^2x$

我们可以化简 $f\left ( x\right )$ 如下:

$f\left ( x\right ) = \frac{1}{\cos^2x} - \frac{1-\cos2x}{1 + \cos2x} = \sec^2x - \left ( \frac{2sin^2x}{2cos^2x} \right ) = \sec^2x - \tan^2x = 1$

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