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三角学:弧长

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例子问题

示例问题11:角的应用程序

下面所示的圆心角与圆弧的关系是对的?

屏幕截图2020年08月27日下午4点9分48秒

可能的答案:

圆心角永远是直角

圆心角是弧长的一半

弧长是圆心角的一半

他们是相等的

正确答案:

他们是相等的

解释：

每条弧都有一个量值，这个量值等于构成弧的圆心角的量值。这是因为角度的大小决定了圆弧绕周长的距离。

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例子问题1:弧长

下面哪一个公式是求弧长的正确公式?

可能的答案:

$l_A = 2\theta r^2$

$l_A = 2\theta r$

$l_A = \theta r$

$l_A = \theta r^2$

正确答案:

$l_A = \theta r$

解释：

整个圆的周长是 $2\pi r$ 。当考虑到弧的长度时，这个角小于 $2\pi$ 用角 $\theta$ 。所以求弧长的公式是用整个圆的角度， $2\pi$ 形成弧线的角度， $\theta$ 。这就给出了公式 $l_A = \theta r$ 。

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示例问题3:弧长

下面哪个是这个角形成的正确的弧长 $\frac{\pi}{3}$ 半径为5的圆?

可能的答案:

$l_A = \frac{5\pi}{3}$

$l_A = \frac{3\pi}{5}$

$l_A = \frac{\pi}{5}$

$l_A = \frac{\pi}{3}$

正确答案:

$l_A = \frac{5\pi}{3}$

解释：

我们必须用这个公式求弧长 $l_A = \theta r$ 。我们已经得到了代入公式所需的所有信息。

$l_A = \theta r$

$l_A = \frac{\pi}{3} 5$

$l_A = \frac{5\pi}{3}$

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示例问题4:弧长

下面哪个选项是半径为3的圆的30度角形成的正确弧长?

可能的答案:

$l_A = \frac{\pi}{2}$

$l_A = \frac{3\pi}{2}$

$l_A = 2\pi$

$l_A = \frac{\pi}{6}$

正确答案:

$l_A = \frac{\pi}{2}$

解释：

首先，我们已知角度的度量单位是度，我们必须转换成弧度才能使用弧长公式。

$30 \frac{\pi}{180} = \frac{\pi}{6}$

现在我们可以把半径长度和角度量代入公式，求出弧长。

$l_A = \frac{\pi}{6} 3$

$l_A = \frac{3\pi}{6}$

$l_A = \frac{\pi}{2}$

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例子问题582:三角函数

形成一个半径为4的圆的长为2.33的圆弧的角的度数是多少?四舍五入到小数点后第二位。

可能的答案:

$\theta = 4.00$

$\theta = 2.33$

$\theta = 0.58$

$\theta = 1.43$

正确答案:

$\theta = 0.58$

解释：

我们必须用求弧长的公式来解出角的度数， $\theta$ 。这个公式是 $l_A = \theta r$ 。

$l_A = \theta r$

$2.33 = \theta 4$

$0.58 = \theta$

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例子问题1:弧长

弧度有一个度量 $\frac{\pi}{4}$ 直径为7的圆心角是多少?

可能的答案:

$\frac{5\pi}{4}$

$\frac{4\pi}{5}$

$\frac{\pi}{6}$

$\frac{\pi}{4}$

正确答案:

$\frac{\pi}{4}$

解释：

注意，题目给出的是弧的长度，而不是弧长。圆弧的度数等于构成圆弧的圆心角的度数。我们甚至不需要用我们的公式，只需要知道圆心角等于它形成的弧的长度。

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例子问题1:弧长

判断题:你得到的是圆心角的测量值，但没有其他信息，你可以解出弧长。

可能的答案:

假

真正的

正确答案:

假

解释：

我们没有足够的信息来解出弧长。我们知道弧的长度等于圆心角弧的长度等于 $\theta = \frac{r}{l_A}$ 但我们仍然有两个未知数，没有办法解出它们。

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示例问题8:弧长

扇形的圆心角是 $\frac{3\pi}{2}$ 扇形面积是 $\frac{7\pi}{4}$ ，弧长是多少?四舍五入到两个小数点。

可能的答案:

l_A = 2.51

l_A = 12.76

l_A = 9.39

l_A = 14.67

正确答案:

l_A = 12.76

解释：

求扇形面积的公式是 $A = \frac{\theta}{2} r^2$ 。我们在求弧长时缺少的信息是半径，所以我们用求扇区面积的公式来求半径，这样我们就能求出弧长了。

$A = \frac{\theta}{2} r^2$

$\frac{7\pi}{4} = (\frac{3\pi}){2}(\frac{1}{2})r^2$

$\frac{7\pi}{4} = (\frac{3\pi}{4} r^2$

$\frac{7\pi}{3} = r^2$

$\sqrt{\frac{7\pi}{3}} = r$

2.707 = r

现在我们可以把这个代入公式来求弧长

$l_A = \theta r$

$l_A = \frac{3\pi}{2} (2.707)$

l_A = 12.76

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