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三角学:模糊三角形

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例子问题

例子问题1:模棱两可的三角形

解出．未按比例绘制的图像。答案可能不止一个。

模棱两可的三角形1

可能的答案:

47.25^o or 132.75^o

34.22^o

47.25^o

42.75^o or 137.25^o

正确答案:

47.25^o or 132.75^o

解释：

用正弦定理来求解， $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$ ，其中A是与边A相交的角，B是与边B相交的角。在这种情况下，我们的比例是这样设定的:

$\frac{7}{sin(40)}=\frac{8}{sin(x)}$ 交叉相乘

7sin(x)=8sin(40) 用计算器计算右侧

7sin(x)= 5.14 两边同时除以7

sin(x)=0.734 通过求值来解x $sin^{-1}(0.734)$ 在一个计算器

x = 47.25^o

还有另一种解决方案。如果 47.25^o sin是0.734，补角也是， 132.75^o ．

自 132.75^o + 40^o 仍然小于 180^o ，是x的一个可能值。

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例子问题1:模棱两可的三角形

解出．未按比例绘制的图像;解决方案可能不止一个。

模棱两可的三角形2

可能的答案:

25^o

71.97^o or 108.03^o

25^o or 155^o

71.97^o

正确答案:

71.97^o or 108.03^o

解释：

用正弦定理来求解， $\frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB}$ ，其中A是与边A相交的角，B是与边B相交的角。在这种情况下，我们的比例是这样设定的:

$\frac{4}{sin(25)}=\frac{9}{sin(x)}$ 交叉相乘。

4sin(x)=9sin(25) 用计算器计算右侧。

4sin(x)= 3.804 两边同时除以4。

sin(x)=0.951 通过求值来解x $sin^{-1}(0.951)$ 在一个计算器。

x = 71.97^o

还有另一种解决方案。如果 71.97^o sin是0.951，补角也是， 108.03^o ．

自 108.03^o + 25^o 仍然小于 180^o ，是x的一个可能值。

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示例问题3:模棱两可的三角形

如果 $\small B$ ＝ $\small 90^o$ ， $\small a=7$ , $\small b=8$ 找到 $\small \small \angle A$ 最接近的程度。

可能的答案:

$\small 74^o$

$\small 52^o$

$\small 61^o$

$\small 80^o$

正确答案:

$\small 61^o$

解释：

注意，给定的信息是角-边-边，这是模棱两可的情况。因此，我们应该测试是否没有三角形满足，一个三角形满足，或者两个三角形满足。从 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$ ,我们得到 $b\cdot \frac{\sin A}{a}=\sin B$ ．在这个方程中，如果 $\sin B > 1$ ，则不可能找到满足三角形的角A。如果 $\sin B = 1$ ， $B=90^\circ$ 确定了一个直角三角形。最后,如果 $\sin B < 1$ ，可以计算角B的两个单位:锐角B和钝角B $B'=180^\circ-B$ ．在这种情况下，可能会确定一个或两个三角形。如果 $B'+A\geq 180^\circ$ ，那么角B'不是一个解。

在这个问题上, $\sin B = 1$ ， $B=90^\circ$ 确定了一个直角三角形。因为我们有三角形的两条边的长度和其中一条边的同位角，我们可以用正弦定律来求出我们要找的角。具体内容如下:

$\small \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{a}{\sin \angle A}$

把三角形的长度输入这个方程

$\small \frac{8}{\sin(90^o)} = \frac{7}{\sin\angle A}$

隔离 $\small \angle A$

$\small \angle A = \sin^{-1}(\frac{7\sin(90^o)}{8})$

$\small \angle A = 61^o$

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示例问题4:模棱两可的三角形

如果 $A=5^\circ$ ， $\small b=10$ ， $\small a=4$ ,找 $\small \angle B$ 最接近的十分之一度。

可能的答案:

$\angle B=12.6^\circ$ 而且 $\angle B'=167.4^\circ$

$\angle B= 172.4^\circ$

$\small 12.6^o$

$\angle B= 167.4^\circ$

$\angle B=12.6^\circ$ 而且 $\angle B'=172.4^\circ$

正确答案:

$\angle B=12.6^\circ$ 而且 $\angle B'=167.4^\circ$

解释：

注意，给定的信息是角-边-边，这是模棱两可的情况。因此，我们应该测试是否没有三角形满足，一个三角形满足，或者两个三角形满足。从 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin B}{b}$ ,我们得到 $b\cdot \frac{\sin A}{a}=\sin B$ ．在这个方程中，如果 $\sin B > 1$ ,没有 $\angle A$ 能找到满足三角形的。如果 $\sin B = 1$ ， $B=90^\circ$ 确定了一个直角三角形。最后,如果 $\sin B < 1$ ，两种测量方法 $\angle B$ 可以计算:急性 $\angle B$ 和一个钝角 $\angle$ $B'=180^\circ-B$ ．在这种情况下，可能会确定一个或两个三角形。如果 $B'+A\geq 180^\circ$ ,那么 $\angle B'$ 不是解决方案。

在这个问题上, $\sin\angle A=.087<1$ ，所以可能有一个或两个角满足这个三角形。因为我们有三角形的两条边的长度和其中一条边的同位角，我们可以用正弦定律来求出我们要找的角。具体内容如下:

$\small \frac{b}{\sin\angle B} = \frac{a}{\sin\angle A}$

从问题中输入值

$\small \frac{10}{\sin\angle B} = \frac{4}{\sin\angle 5^o}$

$\small \angle B = \sin^{-1}(\frac{10\sin\angle 5^o}{4})$

$\small \small \angle B = 12.6^o$

当原给定角( $\angle A=5^\circ$ )是急性的，则会有:

一个解是给定角的对边等于或大于另一个角的对边
无解，一个解(直角三角形)，或者两个解，如果给定角的对边小于另一个给定边

在这个问题中，给定角的对边是 a=4 小于另一边 b=10 ．因此，我们有第二个解。按照以下步骤找到它:

$\angle B'=180^\circ-B=180^\circ-12.6^\circ=167.4^\circ$

$\angle B'+\angle A=167.4^\circ+5^\circ=172.4^\circ$ $\leq180^\circ$ ,所以 $\angle B'$ 是一个解决方案。

因此一个角有两个值， $\angle B=12.6^\circ$ 而且 $\angle B'=167.4^\circ$ ．

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示例问题5:模棱两可的三角形

如果 $\small c=10.3$ ， $\small a=7.4$ , $\small \angle A$ ＝ $\small 34^o$ 找到 $\small \angle C$ 最接近的程度。

可能的答案:

$\angle C = 51^\circ$ 而且 $\angle C'=78^\circ$

$\angle C = 51^\circ$

$\angle C=51^\circ$ 而且 $\angle C'=129^\circ$

$\angle C = 78^\circ$

$\angle C = 129^\circ$

正确答案:

$\angle C=51^\circ$ 而且 $\angle C'=129^\circ$

解释：

注意，给定的信息是角-边-边，这是模棱两可的情况。因此，我们应该测试是否没有三角形满足，一个三角形满足，或者两个三角形满足。从 $\frac{\sin A}{a}=\frac{\sin C}{c}$ ,我们得到 $c\cdot \frac{\sin A}{a}=\sin C$ ．在这个方程中，如果 $\sin C >1$ ,没有 $\angle A$ 能找到满足三角形的。如果 $\sin C=1, C=90^\circ$ 确定了一个直角三角形。最后,如果 $\sin C <1$ ，两种测量方法 $\angle C$ 可以计算:急性 $\angle C$ 钝角 $C'=180^\circ-C$ ．在这种情况下，可能会确定一个或两个三角形。如果 $C'+A \geq 180^\circ$ ,那么 $\angle C'$ 不是解决方案。

在这个问题上, $\sin C =.559<1$ ，所以可能有一个或两个角满足这个三角形。因为我们有三角形的两条边的长度和其中一条边的同位角，我们可以用正弦定律来求出我们要找的角。具体内容如下:

$\small \small \frac{c}{\sin\angle C} = \frac{a}{\sin\angle A}$

输入问题的值

$\small \frac{10.3}{\sin\angle C} = \frac{7.4}{\sin\angle 34^o}$

重新排列方程以分离 $\small \angle C$

$\small \angle C = \sin^{-1}(\frac{10.3\sin\angle34^o}{7.4})$

$\small \angle C =$ $\small 51^o$

当原给定角( $\angle A=34^\circ$ )是急性的，则会有:

一个解是给定角的对边等于或大于另一个角的对边
无解，一个解(直角三角形)，或者两个解，如果给定角的对边小于另一个给定边

在这个问题中，给定角的对边是 a=7.4 小于另一边 c=10.3 ．因此，我们有第二个解。按照以下步骤找到它:

$\angle C'=180^\circ-C=180^\circ-51^\circ=129^\circ$ ．

$C'+A=129^\circ+34^\circ=163^\circ\leq 180^\circ$ ,所以 $\angle C'$ 是一个解决方案。

因此一个角有两个值， $\angle C=51^\circ$ 而且 $\angle C'=129^\circ$

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示例问题6:模棱两可的三角形

如果c＝10.3，一个＝7.4, $\angle A=122^\circ$ 找到 $\angle C$ 最接近的程度。

可能的答案:

$\angle C = 51^\circ$

$\angle C=51^\circ$ 而且 $\angle C'=129^\circ$

没有解决方案

$\angle C = 129^\circ$

正确答案:

没有解决方案

解释：

在这个问题上, $\sin C = 1.18>1$ ，这意味着没有解 $\angle C$ 满足这个三角形。如果你得到了这个三角形的答案，检查你是否在问题开始时正确地建立了正弦定律方程。

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示例问题7:模棱两可的三角形

如果 $\small c=10.3$ ， a=13 , $\small \angle A$ ＝ $\small 34^o$ 找到 $\small \angle C$ 最接近的程度。

可能的答案:

$\angle C = 26.3^\circ$

$\angle C = 206.3^\circ$

$\angle C = 26.3^\circ$ 而且 $\angle C' = 206.3^\circ$

没有解决方案

正确答案:

$\angle C = 26.3^\circ$

解释：

在这个问题上, $\sin C =.44<1$ ，所以可能有一个或两个角满足这个三角形。因为我们有三角形的两条边的长度和其中一条边的同位角，我们可以用正弦定律来求出我们要找的角。具体内容如下:

$\small \small \frac{c}{\sin\angle C} = \frac{a}{\sin\angle A}$

输入问题的值

$\frac{10.3}{\sin C}=\frac{13}{\sin 34^\circ}$

重新排列方程以分离 $\small \angle C$

$\angle C=\sin^-^1\left (\frac{10.3\sin34^\circ}{13} \right )$

$\angle C = 26.3^\circ$

当原给定角( $\angle A=34^\circ$ )是急性的，则会有:

一个解是给定角的对边等于或大于另一个角的对边
无解，一个解(直角三角形)，或者两个解，如果给定角的对边小于另一个给定边

在这个问题中，给定角的对边是 a=13 ，它大于另一边 c=10.3 ．因此，我们只有一个解， $\angle C = 26.3^\circ$ ．

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示例问题8:模棱两可的三角形

如果 $\small c=10.3$ ， a=12 , $\angle A =108^\circ$ 找到 $\small \angle C$ 最接近的程度。

可能的答案:

没有解决方案

$54.72^\circ$

$35.28^\circ$ 而且 $144.72^\circ$

$54.72^\circ$ 而且 $125.28^\circ$

$35.28^\circ$

正确答案:

$54.72^\circ$

解释：

在这个问题上, $\sin C =.82<1$ ，所以可能有一个或两个角满足这个三角形。因为我们有三角形的两条边的长度和其中一条边的同位角，我们可以用正弦定律来求出我们要找的角。具体内容如下:

$\small \small \frac{c}{\sin\angle C} = \frac{a}{\sin\angle A}$

输入问题的值

$\frac{12}{\sin 108^\circ}=\frac{10.3}{\sin C}$

重新排列方程以分离 $\small \angle C$

$\angle C=\sin^-^1\left (\frac{10.3\sin108^\circ}{12} \right )$

$\angle C=54.72^\circ$

当原给定角( $\angle A=108^\circ$ )为钝角，则会有:

当给定角的对边小于或等于另一条给定边时，无解
一个解是给定角的对边大于另一个角的对边

在这个问题中，给定角的对边是 a=12 ，它大于另一边 c=10.3 ．因此这个问题有且只有一个解， $\angle C=54.72^\circ$

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示例问题9:模棱两可的三角形

如果 c=18 ， a=5 , $\small \angle A$ ＝ $\small 34^o$ 找到 $\small \angle C$ 最接近的程度。

可能的答案:

没有解决方案

$27.19^\circ$ 而且 $152.81^\circ$

$27.19^\circ$

$8.94^\circ$ 而且 $171.06^\circ$

$8.94^\circ$

正确答案:

没有解决方案

解释：

在这个问题上, $\sin C=2.01>1$ ，这意味着没有解 $\angle C$ 满足这个三角形。如果你得到了这个三角形的答案，检查你是否在问题开始时正确地建立了正弦定律方程。

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示例问题10:模棱两可的三角形

如果c= 70，一个= 50, $\angle A=122^\circ$ 找到 $\angle C$ 最接近的程度。

可能的答案:

$49.89^\circ$

$8.11^\circ$ 而且 $171.89^\circ$

没有解决方案

$8.11^\circ$

$49.89^\circ$ 而且 $130.11^\circ$

正确答案:

没有解决方案

解释：

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康奈尔大学，生物/生物系统工程理学学士。克利夫兰州立大学哲学博士…

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