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SSAT高级数学:如何求一个立方体的体积

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例子问题

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例子问题1:如何计算立方体的体积

一个立方体有六个正方形面，每个面的面积都是64平方英寸。使用1英寸= 2.5厘米的换算系数，取这个立方体的体积，以立方厘米为单位，四舍五入到最接近的整数。

可能的答案:

400立方厘米

8000立方厘米

2000立方厘米

800立方厘米

4000立方厘米

正确答案:

8000立方厘米

解释：

立方体的体积是其边长的立方，也就是每个正方形面的边长。这个边长是面积64的平方根:

$\sqrt{64}=8$ 英寸。

乘以2.5得到边长，单位是厘米:

$\times 2.5$ = 20 厘米。

这个的立方是

$20^{3}$ =8000 立方厘米

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例子问题2:如何计算立方体的体积

一个立方体的边长是5英寸。给出立方体的体积和表面积。

可能的答案:

25 in^3 ,150 in^2

25 in^3 ,75 in^2

125 in^3 ,150 in^2

250in^3, 150 in^2

125 in^3 ,75 in^2

正确答案:

125 in^3 ,150 in^2

解释：

立方体的所有边的长度都是一样的。一个立方体的体积是用任意边的长度乘以自身的两倍得到的。作为一个公式:

Volume=s^3 在哪里是立方体任意边的长度。

立方体的表面积可以计算为 6s^2 ．

所以我们得到:

体积 =s^3=5^3=125 in^3

表面积 $=6s^2=6\times 5^2=6\times 25=150 in^2$

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示例问题3:如何计算立方体的体积

一个奶酪卖家有一块2英尺x 2英尺x 2英尺的豪达奶酪，她想把它切成每边1.5英寸的小豪达奶酪块。她能切多少方块?

可能的答案:

4096

512

1024

2048

256

正确答案:

4096

解释：

首先，我们需要确定有多少个小的豪达可以沿着一个维度的大奶酪块。大方块的一条边是24英寸，所以是16个小方块 $(24\div 1.5)$ 沿着边缘就可以了。现在我们简单地把这个一维的立方体立方起来，看看有多少个立方体可以装进整个立方体。 $16^{3}=4096$ ．

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示例问题4:如何计算立方体的体积

立方体的一个顶点到对顶点的距离为．给出立方体的体积。

可能的答案:

$\frac{N^{3} }{3 }$

$3N\sqrt{N}$

$\frac{N^{3} \sqrt{2} }{4}$

$\frac{N^{3} \sqrt{3} }{9 }$

$\frac{N^{3} }{2 }$

正确答案:

$\frac{N^{3} \sqrt{3} }{9 }$

解释：

让是立方体一条边的长度。通过毕达哥拉斯定理的三维扩展，

$s^{2}+s^{2}+s^{2}=N^{2}$

$3s^{2}=N^{2}$

$s^{2}=\frac{N^{2}}{3}$

$s =\sqrt{\frac{N^{2}}{3}} = \frac{N}{\sqrt{3}} = \frac{N\sqrt{3}}{3}$

对边长求立方得到体积:

$s^{3} = \left ( \frac{N\sqrt{3}}{3} \right )^{3} = \frac{N^{3} \left ( \sqrt{3}\right ) ^{3} }{3^{3} } = \frac{N^{3} \left (3 \sqrt{3}\right ) }{27 }= \frac{N^{3} \sqrt{3} }{9 }$

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示例问题5:如何计算立方体的体积

求一个有表面积的立方体的体积．

可能的答案:

$\frac{N^{3}}{36}$

$\frac{N^{3}}{216}$

$6N\sqrt{ 6N}$

$6\sqrt[3]{N^{2}}$

$\frac{N\sqrt{ 6N} }{36}$

正确答案:

$\frac{N\sqrt{ 6N} }{36}$

解释：

让是立方体一条边的长度。因为它的表面积是，其中一张脸有这个区域的六分之一，或者 $\frac{N}{6}$ ．因此,

$s^{2} = \frac{N}{6}$ ，

而且

$s =\sqrt{ \frac{N}{6}}= \frac{ \sqrt{ N}}{\sqrt{ 6}}= \frac{ \sqrt{ 6N}}{6}$

对边长求立方得到体积:

$s ^{3}= \left ( \frac{ \sqrt{ 6N}}{6} \right )^{3} = \frac{\left ( \sqrt{ 6N} \right )^{3}}{6^{3}}= \frac{ 6N\sqrt{ 6N} }{216}= \frac{N\sqrt{ 6N} }{36}$

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示例问题6:如何计算立方体的体积

立方体的一个面对角线的长度是10。给出立方体的体积。

可能的答案:

$\frac{1,000 \sqrt{3} }{3}$

$250\sqrt{2}$

$125\sqrt{2}$

$\frac{1,000\sqrt{3} }{9}$

$500\sqrt{2}$

正确答案:

$250\sqrt{2}$

解释：

因为这个立方体的对角线是10，所以每个正方形的每条边都有长度 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 次,或 $10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 5\sqrt{2}$ ．

求立方体的体积:

$\left (5\sqrt{2} \right )^{3}= 5^{3} \left ( \sqrt{2} \right )^{3} = 125 \left (2 \sqrt{2} \right ) = 250 \sqrt{2}$ ．

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示例问题7:如何计算立方体的体积

水族馆的形状像一个完美的立方体;每个玻璃面面积为1.44平方米。如果它被填满到建议的90%的容量，那么，最接近的百升，它能装多少水?

注:1立方米= 1000升。

可能的答案:

$1,200\textup{ L}$

$1,300\textup{ L}$

$1,700\textup{ L}$

$1,400\textup{ L}$

$1,600 \textup{ L}$

正确答案:

$1,600 \textup{ L}$

解释：

一个完美的立方体有正方形的面;如果一个面的面积是1.44平方米，那么每个面的每边都是这个的平方根，也就是1.2米。容器的体积是这个的立方，或者

$1.2^{3} = 1.728$ 立方米。

它的容量是 $1.728 \times 1,000 = 1,728$ 升。

其中90%是

$1,728 \times 0.9 = 1,555.2$ 升。

这是1600升，正确的反应。

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示例问题8:如何计算立方体的体积

给定一个表面积为3平方米的立方体的体积。

可能的答案:

$125,000\sqrt{3} \textup{ cm}^{3}$

$250,000 \textup{ cm}^{3}$

$250,000\sqrt{2} \textup{ cm}^{3}$

$125,000\sqrt{2} \textup{ cm}^{3}$

$125,000 \textup{ cm}^{3}$

正确答案:

$250,000\sqrt{2} \textup{ cm}^{3}$

解释：

让是立方体一条边的长度。因为它的表面积是3平方米，一个面有这个面积的六分之一 $\frac{3}{6} = \frac{1}{2}$ 平方米。因此, $s^{2} = \frac{1}{2}$ , $s = \sqrt{ \frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}=\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2}\cdot \sqrt{2}}= \frac{\sqrt{2}}{2}$ 米。

选项的单位是厘米，所以乘以100，边长是

$\frac{\sqrt{2}}{2} \cdot 100 = 50 \sqrt{2}$ 厘米。

体积是这个的立方，或者 $V= \left ( 50 \sqrt{2} \right )^{3}= 50^{3} \cdot \left ( \sqrt{2} \right )^{3}= 125,000 \cdot 2 \sqrt{2}= 250,000\sqrt{2}$ 立方厘米。

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示例问题9:如何计算立方体的体积

立方体对角线的长度是 $15\sqrt{2}$ ．给出立方体的体积。

可能的答案:

$750 \sqrt{3}$

$750 \sqrt{2}$

$1,500 \sqrt{2}$

$1,500 \sqrt{3}$

$750 \sqrt{6}$

正确答案:

$750 \sqrt{6}$

解释：

让是立方体一条边的长度。通过毕达哥拉斯定理的三维扩展，

$s^{2}+s^{2}+s^{2}= (15 \sqrt{2})^{2}$

$3s^{2}=15 ^{2}\cdot \left ( \sqrt{2} \right )^{2}$

$3s^{2}=225 \cdot 2 = 450$

$s^{2} = 150$

$s = \sqrt{150 } = \sqrt{25} \cdot \sqrt{6} = 5\sqrt{6}$

将边长立方得到体积:

$s ^{3 }= \left ( 5\sqrt{6} \right )^{3 }$

$s ^{3 }= 5^{3 } \left (\sqrt{6} \right )^{3 } = 125 \cdot 6 \sqrt{6} = 750 \sqrt{6}$

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示例问题10:如何计算立方体的体积

立方体的一个面对角线的长度为 $16\sqrt{2}$ ．给出立方体的体积。

可能的答案:

$65,536\sqrt{2}$

4,096

32,768

正确答案不在其他回答中。

$8,192\sqrt{2}$

正确答案:

4,096

解释：

正方形的对角线有长度 $\sqrt{2}$ 乘以一条边的长度，所以立方体每个面的每条边都有长度 $16 \sqrt{2} \div \sqrt{2}= 16$ ．将其立方得到体积:

$16^{3} = 4,096$

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