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数学II:解方程

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例子问题

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问题1:找到根源

解出：

x^2+2 = 6x-6

可能的答案:

x=1, 2

x=1,-2

x=2,4

x=-2,-4

正确答案:

x=2,4

解释：

求出你需要把它分离到方程的一边。你可以减去从右到左。然后你可以把6从右边加到左边:

x^2+2 = 6x-6

x^2-6x+2 = -6

x^2-6x+8 = 0

接下来，你可以提出这个二次方程来解．你需要确定8的哪些因子加起来等于- 6:

$(x \ \ \ \ \ \)(x \ \ \ \ \ \) = 0$

(x-2)(x-4)=0

最后，让每个二项式等于0，然后解出：

$x=2 \ \ \ \ \ \ x=4$

问题1:单变量代数

给出方程的解集 $x ^{2} - 4x + 11 = 0$ ．

可能的答案:

$x = -2 \pm i \sqrt{7}$

$x = 2 \pm \sqrt{7}$

$x = \sqrt{7} \pm 2i$

$x = 2 \pm i \sqrt{7}$

$x =- \sqrt{7} \pm 2i$

正确答案:

$x = 2 \pm i \sqrt{7}$

解释：

使用二次方程 a = 1, b = -4, c = 11 ：

$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

$x = \frac{-(-4) \pm \sqrt{(-4)^{2}-4 (1)(11)}}{2 (1)}$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{16-44}}{2 }$

$x = \frac{4 \pm \sqrt{-28}}{2 }$

$x = \frac{4 \pm i \sqrt{28}}{2 }$

$x = \frac{4 \pm i \cdot \sqrt{4} \cdot \sqrt{7}}{2 }$

$x = \frac{4 \pm 2i \sqrt{7}}{2 }$

$x = 2 \pm i \sqrt{7}$

问题1:单变量代数

一个大浴缸有两个水龙头。热水龙头，如果一直开到最大，可以在15分钟内填满浴缸;冷水龙头在9分钟内也能达到同样的效果。如果两个水龙头都开着，下面哪个回答最接近装满浴缸所需的时间?

可能的答案:

$4\textup{ min}$

$6\textup{ min}$

$10\textup{ min}$

$12 \textup{ min}$

$8\textup{ min}$

正确答案:

$6\textup{ min}$

解释：

工作问题可以通过将其视为速率问题来解决。

热水龙头可以填满浴缸的速度为15分钟每个浴缸，或 $\frac{1}{15}$ 每分钟浴缸。同样，冷水龙头可以以9分钟的速度装满一个浴缸，或者 $\frac{1}{9}$ 每分钟浴缸。

假设浴缸装满了水分钟。然后，在这段时间结束时，热水龙头就满了 $\frac{1}{15} X$ 浴缸，冰冷的水龙头已经满了 $\frac{1}{9} X$ 浴缸，总共一个浴缸。我们可以建立这个方程并解出：

$\frac{1}{15} X + \frac{1}{9} X = 1$

$45 \cdot \left (\frac{1}{15} X + \frac{1}{9} X \right )= 45 \cdot 1$

$45 \cdot \frac{1}{15} X +45 \cdot \frac{1}{9} X = 45$

3 X +5 X = 45

8 X = 45

$8 X \div 8 = 45 \div 8$

X = 5.625

在五个选项中，6分钟最接近。

问题11:单变量代数

解出y的方程

5y+27-5z=30

可能的答案:

5y=3+5z

y=3+5z

$y=\frac{3+5z}{5}$

$z=\frac{3-5y}{5}$

5y-5z=3

正确答案:

$y=\frac{3+5z}{5}$

解释：

5y+27-5z=30

首先，方程两边同时减去27

5y-5z=3

方程两边同时加上5z

5y=3+5z

最后，两边同时除以5得到y

$y=\frac{3+5z}{5}$

问题2:求解方程

解方程: $\frac{2}{3x}+4=\frac{1}{2x}$

可能的答案:

$\frac{1}{48}$

$\frac{1}{24}$

$-\frac{1}{12}$

$\frac{1}{12}$

$-\frac{1}{24}$

正确答案:

$-\frac{1}{24}$

解释：

为了分离x变量，我们可以两边同时乘以最小公分母。

最小公分母是．这样就消去了分数。

$6x(\frac{2}{3x}+4)=\frac{1}{2x} \cdot 6x$

4+24x = 3

两边同时减去4。

4+24x -4= 3-4

24x=-1

两边同时除以24。

$\frac{24x}{24}=\frac{-1}{24}$

答案是: $-\frac{1}{24}$

问题1:求解方程

解方程: $\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x = \frac{1}{5}$

可能的答案:

$\frac{24}{5}$

$\frac{7}{60}$

$\frac{10}{3}$

$\frac{13}{60}$

$\frac{12}{5}$

正确答案:

$\frac{12}{5}$

解释：

找出方程两边的最小公分母，然后在两边乘以它。

液晶显示是60。

$60(\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x) = \frac{1}{5}\times 60$

20x-15x = 12

合并左边的相似项。

5x=12

两边同时除以5。

$\frac{5x}{5}=\frac{12}{5}$

答案是: $\frac{12}{5}$

问题11:单变量代数

解方程: 8(x-3) = 16-x

可能的答案:

$\frac{40}{9}$

$\frac{8}{9}$

$\frac{40}{7}$

正确答案:

$\frac{40}{9}$

解释：

把8除以二项的两项。

8x-24 = 16-x

添加两边都是。

8x-24 +x= 16-x+x

9x-24 = 16

两边同时加上24。

9x-24+24 = 16+24

9x=40

两边同时除以9。

$\frac{9x}{9}=\frac{40}{9}$

答案是: $\frac{40}{9}$

问题1:求解方程

解方程: -2+7x = 8x-6

可能的答案:

$-\frac{4}{15}$

$\frac{4}{15}$

$-\frac{8}{15}$

正确答案:

解释：

减去两边都有。

-2+7x-7x = 8x-6-7x

-2=x-6

两边加6。

-2+6=x-6+6

x=4

答案是:

问题1:求解方程

解决 $\sqrt{x^2 + 8} = 2\sqrt{2x-1}$

可能的答案:

x=3, 9

$x= \sqrt{3}, \sqrt{6}$

x=-3, 6

x=7

x=2, 6

正确答案:

x=2, 6

解释：

首先，我们要得到根号内的所有数，所以我们把：

$\sqrt{x^2 + 8} = \sqrt{4}\sqrt{2x-1}$

$\sqrt{x^2 + 8} = \sqrt{4(2x-1)}$

$\sqrt{x^2 + 8} = \sqrt{8x-4}$

现在我们可以通过两边的平方来消掉平方根

$(\sqrt{x^2 + 8})^{2} = (\sqrt{8x-4})^2$

x^2 + 8 = 8x-4

现在我们可以把所有的东西移到方程的一边来化简

x^2 -8x+ 12 = 0

保理将使我们:

(x-6)(x-2)= 0

所以我们的答案是:

x=2, 6

问题11:单变量代数

解决 $6-\sqrt{x}=11$

可能的答案:

没有解决方案。

正确答案:

没有解决方案。

解释：

首先把所有的常数放到方程的一边:

$-\sqrt{x}=5$

现在乘以：

$\sqrt{x}=-5$

最后，对每条边平方:

x=25

这看起来很好，但是让我们通过代入原始方程来检查解:

$6-\sqrt{25}=11$

6-5=11

$1\neq 11$

所以我们的解是无效的，这个问题没有解。

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