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SAT II数学II:图形函数

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例子问题

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例子问题1:绘图函数

注:图非按比例绘制。

参照上图。圆的圆心在原点;这条线与圆在指定的点相切。斜率-截距式的直线方程是什么?

可能的答案:

$y = \frac{3}{4} x+ \frac{7}{2}$

$y = - \frac{4}{3} x+ 16$

$y = - \frac{3}{4} x+ \frac{25}{2}$

没有足够的信息来确定这条线的方程。

$y = \frac{4}{3} x$

正确答案:

$y = - \frac{3}{4} x+ \frac{25}{2}$

解释：

圆在某一点的切线垂直于圆心到该点的半径。这个半径，有端点 (0,0),(6,8) ，有斜率

$m = \frac{8-0}{6-0} = \frac{8}{6} = \frac{4}{3}$ ．

这条线，垂直于这个半径，它的斜率就等于这个半径的倒数的对边。这个斜率是 $-\frac{3}{4}$ ．因为它包含点 (6,8) ，我们可以用直线的点斜式求出它的方程:

$y - y_{1} = m(x-x_{1})$

$y - 8= - \frac{3}{}4\left ( x-6 \right )$

$y - 8= - \frac{3}{4} x+ \frac{9}{2}$

$y - 8+ 8 = - \frac{3}{4} x+ \frac{9}{2} + 8$

$y = - \frac{3}{4} x+ \frac{25}{2}$

例子问题1:之前的微积分

这个方程所表示的圆的圆心和半径是多少?

(x-2)^2+y^2=36

可能的答案:

$(-2,0),\ r=6$

$(2,0),\ r=6$

$(-2,0),\ r=36$

$(2,0),\ r=36$

正确答案:

$(2,0),\ r=6$

解释：

圆由如下公式定义 (x-h)^2+(y-k)^2=r^2 ．

中心由点表示 (h,k) 半径．

在等式中 (x-2)^2+(y)^2=36=6^2 ，中心为 (2,0) 半径是．

例子问题2:绘图函数

给出方程的抛物线的对称轴

$f(x) = 3x^{2} + 9x - 16$

可能的答案:

$x = \frac{3}{2}$

$x= \frac{1}{6}$

$x = -\frac{3}{2}$

x = - 16

$x= -\frac{1}{6}$

正确答案:

$x = -\frac{3}{2}$

解释：

方程的抛物线的对称线

$f(x) = ax^{2}+ bx + c$

是一条垂直线

$x = -\frac{b}{2a}$

替代 a = 3, b = 9 ：

对称线是

$x = -\frac{9}{2 \cdot 3} = - \frac{9}{6} = -\frac{3}{2}$

也就是方程的直线 $x =- \frac{3}{2}$ ．

例子问题3:绘图函数

给-函数抛物线顶点的坐标

$f(x) = 4x^{2}- 16x + 1$

可能的答案:

129

正确答案:

解释：

的抛物线顶点的坐标

$f(x) = ax^{2}+ bx + c$

是

$x= -\frac{b}{2a}$ ．

替代 a= 4, b = -16 ：

$x= -\frac{-16}{2\cdot 4} = -\frac{-16}{8} = 2$

的-coordinate因此 f(2) ：

$f(x) = 4x^{2}- 16x + 1$

$f(2) = 4 \cdot 2 ^{2}- 16 \cdot 2 + 1$

$f(2) = 4 \cdot 4- 16 \cdot 2 + 1$

f(2) = 16 - 32 + 1

f(2) = -15

问题4:绘图函数

一个人站在100英尺高的屋顶上，以每小时60英里的初始速度将棒球直接抛向空中。以英尺为单位的棒球高度由函数建模

$h(t) = -16t^{2}+60t + 100$

距离最近的一英尺，当棒球到达它路径的最高点时，它有多高?

可能的答案:

$132\textrm{ ft}$

$140\textrm{ ft}$

$120\textrm{ ft}$

$172\textrm{ ft}$

$156 \textrm{ ft}$

正确答案:

$156 \textrm{ ft}$

解释：

的价值当图像 $h\left ( t\right )$ 抛物线到达顶点。

为了求这个值，我们首先求的值．求方程的抛物线

$f\left ( t\right ) = at^{2}+ bt + c$ ，

的顶点的值为

$t = -\frac{b}{2a}$ ．

替代 a = -16, b = 60 ：

$t = -\frac{60}{2 (-16)} = 1.875$

1.875秒后棒球的高度为

$h(1.875) = -16 \cdot 1.875^{2}+60 \cdot 1.875 + 100$

$h(1.875) = -56.25 +112.5 + 100 \approx 156$ 的脚。

例5:绘图函数

给-函数抛物线顶点的坐标

$f(x) = 2x^{2} + 6x + 5$ ．

可能的答案:

$\frac{37}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

的抛物线顶点的坐标

$f(x) = ax^{2}+ bx + c$

是

$x= -\frac{b}{2a}$ ．

集 a = 2, b = 6 ：

$x= -\frac{6}{2\cdot 2} = -\frac{6}{4} =- \frac{3}{2}$

的-coordinate因此 $f\left (- \frac{3}{2} \right )$ ：

$f(x) = 2x^{2} + 6x + 5$

$f \left ( -\frac{3}{2} \right )= 2\left ( -\frac{3}{2} \right )^{2}+ 6\left ( -\frac{3}{2} \right ) + 5$

$= 2\left ( \frac{9}{4} \right ) + 6\left (- \frac{3}{2} \right ) + 5$

$= \frac{9}{2} - 9 + 5 = \frac{1}{2}$ ，这是正确的选择。

例子问题6:绘图函数

一个棒球从150英尺高的建筑物的顶部向上投掷。球的初始速度是每小时45英里。之后球的高度秒由函数建模

$h (t) = -16t^{2}+ 45t +150$

球能飞多高(最近的脚)?

可能的答案:

$205 \textrm{ ft}$

$166 \textrm{ ft}$

$195 \textrm{ ft}$

$182 \textrm{ ft}$

$173 \textrm{ ft}$

正确答案:

$182 \textrm{ ft}$

解释：

一个二次函数，如有一个抛物线作为它的图形。抛物线的最高点——顶点——就是我们要找的。

函数的顶点

$h (t) = at^{2}+bt +c$

作为坐标

$\left ( - \frac{b}{2a} , h \left ( - \frac{b}{2a} \right ) \right )$ ．

第二个坐标是高度，我们要求的是这个量。自 $h (t) = -16t^{2}+ 45t +150$ ,设置 a = -16, b= 45 ：

$- \frac{b}{2a} = - \frac{45}{2(-16)} = \frac{45}{32} = 1.40625$ 球到达最高点的秒数。

球在这一点的高度是 h ( 1.40625 ) ，可代入计算:

$h (t) = -16t^{2}+ 45t +150$

$h (1.40625 ) = -16 (1.40625 )^{2}+ 45 (1.40625 ) +150$

$\approx -16 (1.9775 ) + 45 (1.40625 ) +150$

$\approx -31.6406 + 63.2813 + 150$

$\approx 181.6407$

四舍五入到182英尺。

示例问题7:绘图函数

给-抛物线的截距(s)

$f(x) = 3x^{2}-9x -54$

可能的答案:

抛物线没有拦截。

$\left ( -\frac{3}{2}, 0 \right )$ 而且 $\left ( \frac{3}{2}, 0 \right )$

(-3,0) 而且 (6,0)

(-54,0)

(-4,0) 而且 (9,0)

正确答案:

(-3,0) 而且 (6,0)

解释：

集 f(x)= 0 解出：

$f(x) = 3x^{2}-9x -54$

$3x^{2}-9x -54 = 0$

这些项的GCF是2，所以

$3\left ( x^{2}- 3x - 18 \right )= 0$

括号里的三叉符号可以通过注意到 -6 +3 = -3 而且 $-6 \times 3= -18$ ：

3(x-6)(x+3)=0

两边同时除以3，就可以消去系数:

(x-6)(x+3)=0

令每个线性二项式都为0并求解：

$x - 6 = 0 \Rightarrow x = 6$

或

$x +3= 0 \Rightarrow x = -3$

抛物线有两个截点 (-3,0) 而且 (6,0) ．

例8:绘图函数

给出函数图形的幅值

$f (x) = 2 \pi \sin 2 \pi x$

可能的答案:

$\pi$

$4 \pi$

$2 \pi$

正确答案:

$2 \pi$

解释：

正弦函数图形的振幅 $f(x) = A \sin Bx$ 是．在这里, $A= 2 \pi$ 这是振幅。

问题9:绘图函数

下面哪个函数的幅值为4?

可能的答案:

$f(x) = \frac{2}{3}\cos \frac{ x }{4}$

$f(x) = \frac{1}{7}\cos \frac{\pi x }{4}$

$f(x) = 4 \cos \frac{\pi x}{5}$

$f(x) = \frac{1}{4}\cos \frac{\pi x}{3}$

$f(x) = 9\cos 4x$

正确答案:

$f(x) = 4 \cos \frac{\pi x}{5}$

解释：

每个选项中的函数都采用余弦函数的形式

$f(x)= A \cos Nx$ ．

这种形式的余弦函数的图形有振幅．因此，对于振幅为4的函数， A = 4 ．在五个选择中，只有

$f(x) = 4 \cos \frac{\pi x}{5}$

符合描述。

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