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SAT II数学I:正弦，余弦，正切

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例子问题

问题8:三角函数

解出 $\theta$ 之间的 $[0,2\pi]$ 。

$\sin (2\theta )=\frac{1}{2}$

可能的答案:

$\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}$

$\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}$

$\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}$

正确答案:

$\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}$

解释：

首先我们要解出sin等于1/2的情况。这是在

$\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

现在，把它插上:

$2\theta =\frac{\pi}{6}\Rightarrow \theta =\frac{\pi}{12}$

$2\theta =\frac{5\pi}{6}\Rightarrow \theta =\frac{5\pi}{12}$

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问题1:三角函数

解出 $\theta$ 之间的 $[0,2\pi]$ 。

$\cos (2\theta )=\frac{1}{2}$

可能的答案:

$\frac{\pi}{12},\frac{5\pi}{12}$

$\frac{\pi}{3},\frac{2\pi}{3}$

$\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

$\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

正确答案:

$\frac{\pi}{6},\frac{5\pi}{6}$

解释：

首先我们要解出sin等于1/2的情况。这是在

$\frac{\pi}{3},\frac{5\pi}{3}$

现在，把它插上:

$2\theta =\frac{\pi}{3}\Rightarrow \theta =\frac{\pi}{6}\,$

$2\theta =\frac{5\pi}{3}\Rightarrow \theta =\frac{5\pi}{6}$

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问题1:三角函数

在一个三角形, ABC ，如果角A的对边是 $\angleA$ 角A是3，角A的邻边是4?

(精确到十分之一度)

可能的答案:

$40^{\circ}$

$36.9^{\circ}$

$32^{\circ}$

$34.7^{\circ}$

正确答案:

$36.9^{\circ}$

解释：

为了求角A的度数我们用tan来求A，我们知道

$tan A=\frac{opposite}{adjacent}$

在我们的例子中，opposite = 3, adjacent = 4，我们将这些值代入，得到:

$tan A= \frac{3}{4}$

现在我们对每条边求正切来求A的度。

$A= tan^{^{-1}}\left(\frac{3}{4}\right)$

A=36.9

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问题5:理解正弦、余弦和正切

如果 sin(x)=0.5 是什么 sin(8x) 如果之间的是而且 $2\pi$ ?

可能的答案:

0.5

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

-1.5

-0.5

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

正确答案:

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

解释：

回想一下, $sin(\frac{\pi}{6}) =0.5$ 。

因此，我们正在寻找 $sin(8*\frac{\pi}{6})$ 或 $sin(\frac{4\pi}{3})$ 。

现在，它有一个参考角 $\frac{\pi}{3}$ ，但它在第三象限。这意味着该值将是负的。的价值 $sin(\frac{\pi}{3})$ 是 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。然而，给定角度的象限，它会是 $-\frac{\sqrt{3}}{2}$ 。

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问题1:正弦、余弦、正切

的精确值 8cos(45) 。

可能的答案:

$4\sqrt2$

$\frac{\sqrt2}{8}$

$\frac{\sqrt2}{4}$

$8\sqrt2$

$6\sqrt2$

正确答案:

$4\sqrt2$

解释：

的精确值 cos(45) 是单位圆上角度为45度时的x值。

这个角的x值是 $\frac{\sqrt2}{2}$ 。

$8cos(45)= 8\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)=4\sqrt2$

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问题1:正弦、余弦、正切

下面哪个选项等于cosx ?

可能的答案:

sin(y)

sin(x)

tan(y)

cos(y)

tan(x)

正确答案:

sin(y)

解释：

记住- cah - toa !这意味着:

$\small cos(x)=\frac{adjacent}{hypotenuse}=\frac{b}{c}$

$\small \small \small sin(x)=\frac{a}{c}$ $\small \small \small \small \small sin(y)=\frac{b}{c}$

$\small \small \small \small cos(y)=\frac{a}{c}$

$\small \small \small \small \small tan(x)=\frac{a}{b}$ $\small \small \small \small tan(y)=\frac{b}{a}$

siny等于cosx

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问题4:罪,因为,棕褐色

求 $\frac{1}{2}sin(45)+ tan(60)$ 。

可能的答案:

$\sqrt2+\sqrt3$

$\frac{3\sqrt2+\sqrt3}{12}$

$\frac{\sqrt2-4\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt2+4\sqrt3}{2}$

$\frac{\sqrt2+4\sqrt3}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt2+4\sqrt3}{4}$

解释：

的值 $\frac{1}{2}sin(45)+ tan(60)$ ，分别解每一项。

$\frac{1}{2}sin(45)=\frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt2}{2} = \frac{\sqrt2}{4}$

$tan(60) = \sqrt3$

把这两项相加。

$\frac{\sqrt2}{4}+\sqrt3 = \frac{\sqrt2}{4}+\frac{4\sqrt3}{4} = \frac{\sqrt2+4\sqrt3}{4}$

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问题11:三角函数

计算 $tan(\frac{4\pi}{3})$ 。

可能的答案:

$-\sqrt{3}$

$\sqrt{3}$

正确答案:

$\sqrt{3}$

解释：

正切函数的周期是 $\pi$ 单位。也就是说,

$tan(x+n\pi)=tanx$

对所有 $n\in\mathbb{Z}$ 。

自 $\frac{4\pi}{3}=\frac{\pi}{3}+\pi$ ，我们可以重写原始表达式 $tan(\frac{4\pi}{3})$ 如下:

$tan(\frac{4\pi}{3})=tan(\frac{\pi}{3}+\pi)$

$=tan(\frac{\pi}{3})$

$=\frac{sin(\frac{\pi}{3})}{cos(\frac{\pi}{3})}$

$=\frac{(\frac{\sqrt{3}}{2})}{(\frac{1}{2})}$

$=\sqrt{3}$

因此,

$tan(\frac{4\pi}{3})=\sqrt{3}$

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问题12:三角函数

计算 $cos(\frac{5\pi}{3})$ 。

可能的答案:

$-\frac{\sqrt{3}}{2}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-\frac{1}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

首先，将给定的角度从弧度转换为角度:

$cos(\frac{5\pi}{3})=cos(300^{\circ})$

接下来,回想一下, $300^{\circ}$ 位于单位圆的第四象限，其中余弦为正。此外，参考角度 $300^{\circ}$ 是

$360^{\circ}-300^{\circ}=60^{\circ}$

因此，所需要做的就是从这些观察中认识到

$cos(\frac{5\pi}{3})=cos(300^{\circ}) =cos(60^{\circ})$ ，

这是 $\frac{1}{2}$ 。

因此,

$cos(\frac{5\pi}{3})=\frac{1}{2}$

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