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PSAT数学:如何找出矩形是否相似

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例子问题

问题1:矩形

注:图不是按比例绘制的。

在上图中，

$\textup{Rect } ABCD \sim \textup{Rect } DBEF$ ．

AB = 10, AD = 5 ．

给出的周长 $\textup{Rect } DBEF$ ．

可能的答案:

$15 \sqrt{5}$

$30 \sqrt{5}$

$\frac{15}{2} \sqrt{5}$

正确答案:

$15 \sqrt{5}$

解释：

我们可以用勾股定理来求：

$DB = \sqrt{(AD)^{2}+(AB)^{2}}$

$DB = \sqrt{5^{2}+10^{2}} = \sqrt{25+100} = \sqrt{125} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{5} =5 \sqrt{5}$

的相似比 $\textup{Rect } DBEF$ 来 $\textup{Rect } ABCD$ 是

$\frac{DB}{AB} = \frac{5\sqrt{5}}{10} = \frac{ \sqrt{5}}{2}$

所以 $\frac{ \sqrt{5}}{2}$ 乘以边的长度 $\textup{Rect } ABCD$ 对应边的长度是 $\textup{Rect } DBEF$ ．然后我们可以将前者的周长乘以 $\frac{ \sqrt{5}}{2}$ 得到后者的:

$\frac{ \sqrt{5}}{2} (10 + 5 + 10 + 5) = \frac{ \sqrt{5}}{2} (30) = 15 \sqrt{5}$

报告错误

问题2:矩形

注:图不是按比例绘制的。

在上图中，

$\textup{Rect } ABCD \sim \textup{Rect } DBEF$ ．

AB = 8, AD = 4 ．

给出的面积 $\textup{Rect } DBEF$ ．

可能的答案:

没有提供足够的信息来确定该区域。

正确答案:

解释：

相似多边形对应的边长成比例，因此

$\frac{DF}{AD}= \frac{DB}{AB}$

AB = 8, AD = 4 ,所以

$\frac{DF}{4}= \frac{DB}{8}$

$DF= \frac{DB}{8} \cdot 4$

$DF= \frac{DB}{2}$

我们可以用勾股定理来求：

$DB = \sqrt{(AD)^{2}+(AB)^{2}}$

$DB = \sqrt{4^{2}+8^{2}} = \sqrt{16+64 } = \sqrt{80} = \sqrt{16} \cdot \sqrt{5} = 4 \sqrt{5}$

$DF= \frac{DB}{2}= \frac{ 4 \sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5}$

的面积 $\textup{Rect } DBEF$ 是

$DB \cdot DF = 4 \sqrt{5} \cdot 2\sqrt{5} = 8 \cdot 5 = 40$

报告错误

问题3:矩形

注:图不是按比例绘制的。

在上图中，

$\textup{Rect } ABCD \sim \textup{Rect } DBEF$ ．

AB = 12, AD = 6 ．

给出多边形的面积 ABEFD ．

可能的答案:

$36 + 18\sqrt{5}$

162

$72+ 18\sqrt{5}$

126

正确答案:

126

解释：

多边形 ABEFD 可以看作是复合的对吧 $\Delta ABD$ 和 $\textup{Rect } DBEF$ ，所以我们计算各个面积并将它们相加。

的面积 $\Delta ABD$ 有一半是腿的产物吗和 A D ：

$\frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 6 = 36$

现在我们求出的面积 $\textup{Rect } DBEF$ ．我们可以通过第一个发现利用勾股定理:

$DB = \sqrt{(AD)^{2}+(AB)^{2}}$

$DB = \sqrt{6^{2}+12^{2}} = \sqrt{36+144} = \sqrt{180} = \sqrt{36} \cdot \sqrt{5} = 6 \sqrt{5}$

的相似性 $\textup{Rect } DBEF$ 来 $\textup{Rect } ABCD$ 意味着

$\frac{DF}{AD}= \frac{DB}{AB}$

所以

$\frac{DF}{6}= \frac{6\sqrt{5}}{12}$

$DF= \frac{6 \cdot 6\sqrt{5}}{12} = \frac{3 6\sqrt{5}}{12} = 3\sqrt{5}$

的面积 $\textup{Rect } DBEF$ 是和：

$DB \cdot DF = 6 \sqrt{5} \cdot 3 \sqrt{5}= 6\cdot 3 \cdot \sqrt{5} \cdot \sqrt{5}= 18 \cdot 5 = 90$

现在添加: 90 + 36 = 126 ，正确的回应。

报告错误

问题1:矩形

注:图不是按比例绘制的。

参考上图。

$\textup{Rect }ABGF \sim \textup{Rect }ACDE$

AB = 7 和 BC = 3 ．

百分之多少? $\textup{Rect }ACDE$ 已经变成棕色了吗?

可能的答案:

$30 \%$

$49 \%$

没有提供足够的信息来回答这个问题。

$57 \frac{1}{7} \%$

$51 \%$

正确答案:

$51 \%$

解释：

AB = 7 和 AC = AB + BC = 7 + 3 = 10 的相似比 $\textup{Rect }ACDE$ 来 $\textup{Rect }ABGF$ 是10比7。面积之比是这个的平方，或者

$10^{2}:7^{2}$

或

100:49

因此, $\textup{Rect }ABGF$ 包括 $\frac{49}{100} = 49 \%$ 的 $\textup{Rect }ABGF$ ，矩形的其余部分——棕色区域——占51% $\textup{Rect }ABGF$ ．

报告错误

问题1:矩形

注:图不是按比例绘制的。

参考上图。

$\textup{Rect }ABGF \sim \textup{Rect }ACDE$

AB = 12 ， BC = 3 ， AE = 10 ．

给出的面积 $\textup{Rect }ABGF$ ．

．

可能的答案:

216

108

120

正确答案:

解释：

$\textup{Rect }ABGF \sim \textup{Rect }ACDE$ ，所以两边成比例，也就是说，

$\frac{AF}{AB}= \frac{AE}{AC}$

AC = AB + BC = 12 + 3 = 15

集

AB = 12 ， AC = 15 ， AE = 10 然后解出：

$\frac{AF}{12}= \frac{10}{15}$

$AF = \frac{10}{15} \cdot 12 = 8$

$\textup{Rect }ABGF$ 面积

$AB \cdot AF = 12 \cdot 8 = 96$

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