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微积分预备:三角形的面积

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例子问题

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例子问题1:三角形的面积

在三角形 ABC ， $m\angle C = 30^\circ$ ， BC = 40 , AC = 20 ．求三角形的面积。

可能的答案:

100

200

400

1600

800

正确答案:

200

解释：

当已知两边的长度和两边夹角的度量时，面积公式为:

$A = \frac {1}{2}ab\sin C \\$

代入给定的值，我们就能计算出面积。

$A = \frac {1}{2}\cdot 40\cdot 20 \cdot \sin 30^\circ= 200$

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例子问题1:三角形的面积

求这个三角形的面积:

三面积f

可能的答案:

11.81 un^ 2

66.97 un^ 2

68 un^ 2

136 un^ 2

正确答案:

68 un^ 2

解释：

为了求出面积，使用与边，角，三角形相关的公式表示，

$area = \frac{ 1}{2} a b \sin C$

在哪里而且是边长和是夹角。

在我们的案例中，

$a=8, b=17, C=90^\circ$ ．

把这些值代入面积公式并求解。

$area = \frac{ 1}{2} (8 )( 17 ) \cdot \sin( 90 ^ o ) = 68$

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示例问题3:三角形的面积

求这个三角形的面积:

三角区d

可能的答案:

53.96 un^ 2

212.13 un^ 2

82. 99 un ^ 2

88.11 un^ 2

正确答案:

82. 99 un ^ 2

解释：

用面积公式求出与三角形边角边定理相关的面积。

$area= \frac{ 1}{2 } a b \sin C$

在哪里而且是边长和是夹角。

把这些值代入上面的公式，我们就得到了最终的答案。

$area = \frac{ 1}{2} (11) (23 ) \sin (41^o ) \approx 82.99$

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示例问题4:三角形的面积

求这个三角形的面积:

三区b

可能的答案:

11.83 un^ 2

23.67 un^ 2

25.38 un^ 2

28 un^ 2

正确答案:

11.83 un^ 2

解释：

为了解决这个问题，使用三角形边角边定理中关于面积的公式，

$area = \frac{ 1}{2} ab \sin C$

在哪里而且是边长和是夹角。

这里我们用的是 25^o 而不是 90^o 因为这是夹角而且．

因此,

$a=8,b=7,C=25^\circ$ ．

把上面的值代入面积公式，我们就得到了最终的答案。

$area = \frac{ 1}{2} (8)(7) \sin (25^o ) \approx 11.83$

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示例问题5:三角形的面积

求这个三角形的面积:

三角区a

可能的答案:

133.91 un^2

66.95 un^ 2

48.84 un^2

48.74 un^ 2

正确答案:

48.74 un^ 2

解释：

用三角形边角边定理的公式求面积，

$area = \frac{ 1}{2} ab \sin C$

在哪里而且是边长和是夹角。

在这种特殊情况下，

$a=15, b=19, C=20^\circ$

因此这个面积是，

$area = \frac {1}{2} (15)(19) \sin (20^o ) \approx 48.74$ ．

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例子问题1:用三角函数计算三角形的面积

求边长为的三角形的确切面积，,．

可能的答案:

2.5

1.5

$\frac{\sqrt {135}}{4}$

$\frac{\sqrt{17}}{2}$

$\frac{\sqrt{135}}{8}$

正确答案:

$\frac{\sqrt {135}}{4}$

解释：

使用苍鹭公式:

$s=\frac{a+b+c}{2}$

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

解出．

$s=\frac{a+b+c}{2}=\frac{2+3+4}{2}=\frac{9}{2}$

求出面积。

$A=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

$A=\sqrt{\frac{9}{2}\left(\frac{9}{2}-2\right)\left(\frac{9}{2}-3\right)\left(\frac{9}{2}-4\right)}$

$A=\sqrt{\frac{9}{2}\left(\frac{5}{2}\right)\left(\frac{3}{2}\right)\left(\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{\frac{135}{16}}=\frac{\sqrt{135}}{4}$

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示例问题7:三角形的面积

边长三角形的面积是多少，,?

可能的答案:

area=16

$area=\sqrt{92}$

$area=4\sqrt{6}$

area=4

$area=16\sqrt{6}$

正确答案:

$area=4\sqrt{6}$

解释：

我们可以用赫伦公式来解这个问题。赫伦公式指出:

半周长是

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

在哪里，，是三角形的边。

那么面积是

$area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

所以如果我们代入

$s=\frac{1}{2}(4+5+7)$

$s=\frac{1}{2}(16)$

s=8

所以面积是

$area=\sqrt{8(8-4)(8-5)(8-7)}$

$area=\sqrt{96}$

$area=4\sqrt{6}$

报告错误

示例问题8:三角形的面积

有边的三角形的面积是多少，,?

可能的答案:

$area=20\sqrt{2}$

$area=100\sqrt{2}$

area=200

area=10

$area=10\sqrt{2}$

正确答案:

$area=10\sqrt{2}$

解释：

我们可以用赫伦公式来解这个问题。赫伦公式指出:

半周长是

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

在哪里，，是三角形的边。

那么面积是

$area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

所以如果我们代入

$s=\frac{1}{2}(6+5+9)$

$s=\frac{1}{2}(20)$

s=10

所以面积是

$area=\sqrt{10(10-6)(10-5)(10-9)}$

$area=\sqrt{200}$

$area=10\sqrt{2}$

报告错误

例子问题1:三角形的面积

边长为的三角形的面积是多少，,?

可能的答案:

area= 7

area= 5

area= 7.5

area=6

area= 12

正确答案:

area=6

解释：

我们可以用赫伦公式来解这个问题。赫伦公式指出:

半周长是

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

在哪里，，是三角形的边。

那么面积是

$area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

所以如果我们代入

$s=\frac{1}{2}(3+4+5)$

$s=\frac{1}{2}(12)$

s=6

所以面积是

$area=\sqrt{6(6-3)(6-4)(6-5)}$

$area=\sqrt{36}$

area=6

报告错误

例子问题1:三角形的面积

边长三角形的面积是多少，,?

可能的答案:

area=30

area=33

area=900

area=20

area=32.5

正确答案:

area=30

解释：

我们可以用赫伦公式来解这个问题。赫伦公式指出:

半周长是

$s=\frac{1}{2}(a+b+c)$

在哪里，，是三角形的边。

那么面积是

$area=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

所以如果我们代入

$s=\frac{1}{2}(5+12+13)$

$s=\frac{1}{2}(30)$

s=15

所以面积是

$area=\sqrt{15(15-5)(15-12)(15-13)}$

$area=\sqrt{900}$

area=30

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