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微积分预科:无穷级数和

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例子问题

问题1:无穷级数的和

找到的值 $\sum_{i=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^i$

可能的答案:

1.25

1.5

正确答案:

解释：

为了更好地理解，我们把这个级数写出来。所以

$\sum_{i=0}^{\infty} (\frac{1}{2})^i = 1+1/2+(1/2)^2 + (1/2)^3+...+(1/2)^\infty$

我们可以看到这是一个无穷几何级数每一项都乘以 $\frac{1}{2}$ ．

你可能希望记住的一个定义是

$1+r+r^2+r^3+... +r^\infty= 1/(1-r)$ 在哪里表示数字之间的公共比率，在本例中为 $\frac{1}{2}$ 或．所以我们得到

1/(1-r) = 1/(1-.5) = 1/.5 = 2

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问题1:求无穷级数的和

评估:

$1 + \frac{1}{7} + \frac{1}{49} + \frac{1}{343} +...$

可能的答案:

$\frac{9}{8}$

$\frac{4}{3}$

这个级数不收敛。

$\frac{6}{5}$

$\frac{7}{6}$

正确答案:

$\frac{7}{6}$

解释：

这是一个等比级数，第一项是 $a_{0} = 1$ 它们的公比是 $r = \frac{1}{7}$ ．这个级数的和是:

$\frac{a_{0}}{1-r} = \frac{1}{1- \frac{1}{7} } = \frac{1}{\frac{7}{7}- \frac{1}{7}}= \frac{1}{\frac{6}{7}} =\frac{7}{6}$

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问题21:序列与级数

评估:

$1 - \frac{1}{6} + \frac{1}{36} - \frac{1}{216} +...$

可能的答案:

这个级数不收敛。

$\frac{4}{5}$

$\frac{7}{8}$

$\frac{2}{3}$

$\frac{6}{7}$

正确答案:

$\frac{6}{7}$

解释：

这是一个等比级数，第一项是 $a_{0} = 1$ 它们的公比是 $r = - \frac{1}{6}$ ．这个级数的和是:

$\frac{a_{0}}{1-r} = \frac{1}{1- \left (- \frac{1}{6} \right )} = \frac{1}{\frac{6}{6}+ \frac{1}{6}}= \frac{1}{\frac{7}{6}} =\frac{6}{7}$

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问题1:无穷级数的和

下面无穷级数的和是什么?

$S=2-\frac{1}{3}+1-\frac{1}{9} +\frac{1}{2}-\frac{1}{27}+\frac{1}{4}-\frac{1}{81}+\cdots$

可能的答案:

$4\tfrac{1}{2}$

$3\tfrac{5}{9}$

$3\tfrac{1}{2}$

发散

正确答案:

$3\tfrac{1}{2}$

解释：

这个级数不是交替的，它是两个几何级数的混合。

第一个级数的项是正的。

$2+1+\frac{1}{2}+ \frac{1}{4} + \cdots = 2*\sum\limits_{i=0}^\infty (\frac{1}{2})^i = 2*(\frac{1}{1-\tfrac{1}{2}})=4$

第二个级数有负项。

$-\frac{1}{3}- \frac{1}{9} -\frac{1}{27}- \cdots = -\frac{1}{3}*\sum\limits_{i=0}^\infty (\frac{1}{3})^i = -\frac{1}{3}*(\frac{1}{1-\tfrac{1}{3}})=-0.5$

这些值的和是3.5。

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问题1:无穷级数的和

下面交替级数的和是什么?

$10 - 5 + \frac{5}{2} - \frac{5}{4}+\frac{5}{8}-\frac{5}{16}+\cdots$

可能的答案:

7.5

$\frac{20}{3}$

$\frac{10}{3}$

正确答案:

$\frac{20}{3}$

解释：

交替级数遵循几何模式。

$10 - 5 + \frac{5}{2} - \frac{5}{4} + \cdots = 10*\sum\limits_{i=0}^\infty(-\frac{1}{2})^i$

我们可以根据公式计算等比级数。

$10*\sum\limits_{i=0}^\infty(-\frac{1}{2})^i = 10*\frac{1}{1+\tfrac{1}{2}} = 10*\frac{2}{3} =\frac{20}{3}$

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问题1:无穷级数的和

求以下无穷级数的和:

$9 + 3 + 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{9} + \frac{1}{27} + \frac{1}{81} + \frac{1}{243} + .....$

可能的答案:

20.25

13.5

16.5

正确答案:

13.5

解释：

注意这是一个无穷等比级数，项的比值为1/3。因此，它可以重写为:

$S = \sum_{n=0}^{\infty } 9\cdot \bigg(\frac{1}{3}\bigg)^{n}$

由于比值1/3的绝对值小于1，我们可以用下面的公式求和:

$S = \frac{a_{0}}{1 - r}$

在哪里 a_0 是序列的第一项。在这种情况下 $a_0 = 9, r = \frac{1}{3}$ ，因此:

$\frac{9}{1-\frac{1}{3}} = \frac{9}{\frac{2}{3}} = \frac{9}{1}\cdot \frac{3}{2}=\frac{27}{2} = 13.5$

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问题2:无穷级数的和

在无穷级数中 $a_{1}, a_{2}...a_{n},$ 每一项 $a_{n}=(-2)^{n}$ 使得前两项是和．级数中前八项的和是多少?

可能的答案:

210

170

-256年

-64年

128

正确答案:

170

解释：

一旦您确定了该系列中的模式，您可能会看到执行求和的快速方法。由于每一项的指数底都是负的，所以如果是偶数，如果是奇数则为负。这个级数会列出2的前8次幂，加上正负规则。所以你有:

- 2,4， - 8,16， -32, 64， -128, 256

请注意，每一对相邻的数字都有一个正数和一个负数。对于第一对，-2 + 4 = 2。第二个是-8 + 16 = 8。第三种是-32 + 64 = 32。第四个是-128 + 256 = 128。然后，您可以快速地将这些值相加，得出答案是170。

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