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微积分预备:解决绝对值不等式

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例子问题

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例子问题1:解绝对值不等式

解出

$3 \left | x-6\right |<21$

可能的答案:

1>x>-13

-1>x>13

1<x<13

-1<x<13

正确答案:

-1<x<13

解释：

为了解这个方程，我们必须先把绝对值分离出来。在这种情况下，我们两边都除以这就留给我们:

$\left | x-6\right |<7$ $\left | x-6 \right|< 7$

当我们处理绝对值方程时，实际上是在解两个方程。那么，我们的下一步是建立这两个方程

x-6<7 而且 x-6>-7

这两种情况我们都解通过添加对双方来说，剩下的是

x<13 而且 x>-1

可以写成 -1<x<13

例子问题2:解绝对值不等式

解出

$\left | 4x-2\right |<10$

可能的答案:

2<x<3

2>x>-3

-2>x>3

-2<x<3

正确答案:

-2<x<3

解释：

当我们处理绝对值方程时，实际上是在解两个方程:

4x-2<10 而且 4x-2>-10

添加留给我们的是:

4x<12 而且 4x>-8

除以为了解出让我们得到我们的解决方案:

x<3 而且 x>-2

可以改写为:

-2<x<3

例子问题3:解绝对值不等式

解出

$2\left | 3x-5\right |>46$

可能的答案:

18>x>-23

$x< \frac{28}{3} \text{ or } x>-6$

-18<x<23

$x> \frac{28}{3} \text{ or } x<-6$

正确答案:

$x> \frac{28}{3} \text{ or } x<-6$

解释：

为了解出我们必须首先分离出绝对值。在这个例子中，我们把两边都除以2:

$\left | 3x-5\right |>23$ |3x-5|>23

和每一个绝对值问题一样，我们建立了两个方程:

3x-5>23 而且 3x-5<-23

我们分离通过添加对双方:

3x>28 而且 3x<-18

最后，除以：

$x>\frac{28}{3}$ 而且 x<-6

问题4:解绝对值不等式

解出．

$5\left | \frac{x}{2} +4\right |<10$

可能的答案:

12>x>-4

-12<4

-12<x<-4

12>x>4

正确答案:

-12<x<-4

解释：

解这个方程的第一步是分离出绝对值。我们把两边都除以

$|\frac{x}{2}+4|<2$ ．

然后我们建立两个方程:

$\frac{x}{2}+4<2$ $\frac{x}{2}+4<2$ 而且 $\frac{x}{2}+4>-2$ $\frac{x}{2}+4>-2$ ．

两边同时减去4，剩下

$\frac{x}/{2} <-2$ $\frac{x}{2}<-2$ 而且 $\frac{x}{2}>-6$ $\frac{x}{2} >-6$ ．

最后，两边同时乘以2，剩下：

x<-4 而且 x>-12 ．

可以改写为:

-12< x < -4

例5:解绝对值不等式

解出

$4\left | 5x+8\right |-2<22$

可能的答案:

$-\frac{14}{5}<x<-\frac{3}{5}$

$-\frac{14}{5}<x<-\frac{2}{5}$

-14<x<-2

$-\frac{3}{5}<x<-\frac{2}{5}$

正确答案:

$-\frac{14}{5}<x<-\frac{2}{5}$

解释：

我们首先需要分离出绝对值，这可以分两步完成:

1.两边加2:

$4\left | 5x+8\right |<24$

2.两边同时除以4:

$\left | 5x+8\right |<6$ |5x+8|<6

下一步是建立两个方程:

5x+8<6 而且 5x+8>-6

我们现在可以解出两边同时减去8:

5x<-2 而且 5x>-14

然后除以5

$x<-\frac{2}{5}$ 而且 $x>-\frac{14}{5}$

可以改写为:

$-\frac{14}{5}<x<-\frac{2}{5}$

例子问题6:解绝对值不等式

求以下绝对值不等式:

$7+\left | 4x+13\right |<36$

可能的答案:

x<4

10.5< x<4

-10.5< x

-10.5< x<4

正确答案:

-10.5< x<4

解释：

$7+\left | 4x+13\right |<36$

首先，我们需要在不等式的一边得到带有绝对值符号的表达式。我们可以把两边都减去7。

$\left | 4x+13\right |<29$

接下来，我们需要建立两个不等式，因为绝对值符号会使负数和正数都为正。

-29< 4x+13<29

从这里开始，两边同时减去13，然后每一项都除以4。

-29-13< 4x<29-13

-42< 4x<16

-10.5< x<4

示例问题7:解绝对值不等式

求以下绝对值不等式:

$3\left | \frac{2x}{5} +7\right |>18$

可能的答案:

$-32.5>x \ or -2.5> x$

$-32.5>x \ or -2.5< x$

$-32.5< x \ or -2.5< x$

$32.5>x \ or -2.5< x$

正确答案:

$-32.5>x \ or -2.5< x$

解释：

$3\left | \frac{2x}{5} +7\right |>18$

首先，我们需要在不等式的一边得到带有绝对值符号的表达式。我们可以把等式两边都除以3。

$\left | \frac{2x}{5} +7\right |>6$

我们现在有两个方程:

$\frac{2x}{5} +7>6$ 而且 $-6> \frac{2x}{5} +7$

$\frac{2x}{5} >-1$ $-13> \frac{2x}{5}$

$x>-\frac{5}{2}$ $-\frac{65}{2}> x$

所以我们的解是 $-32.5>x \ or -2.5< x$

例8:解绝对值不等式

求解如下不等式:

$2+3\left | x+4\right |<17$

可能的答案:

$x>9 \ or \ x<-1$

-9<x<-1

-9<x<1

$x< 9 \ or \ x<-1$

正确答案:

-9<x<1

解释：

$2+3\left | x+4\right |<17$

首先，我们需要在不等式的一边得到带有绝对值符号的表达式。我们可以这样做，两边都减去2然后每项都除以3。

$3\left | x+4\right |<15$

$\left | x+4\right |<5$

由于绝对值符号使负数和正数都为正，我们需要建立一个双重不等式。

-5<x+4<5

现在来解两边各减去4。

-9<x<1

问题9:解绝对值不等式

解出：

$\left | 5-2x \right |>11$

可能的答案:

$x < -3, \text{ or } x > 8$

$x < -4, \text{ or } x > 3$

-4 < x < 3

-3 < x < 4

正确答案:

$x < -3, \text{ or } x > 8$

解释：

如果 $\left | 5-2x \right |>11$ ，那么 5-2x > 11 或 5-2x < -11 根据绝对值函数的含义。两种情况都要解。

一) 5-2x > 11 两边同时减去5

-2x > 6 除以-2，不等号的方向反过来

x < -3

即使我们不知道翻转不等式的规则，这个答案也是有意义的，例如， 1 < 3 , -2(-4) =8 > 6 ．

b) 5-2x < -11 两边同时减去5

-2x < -16 除以-2，再次改变不等式的方向

x > 8

例子问题10:解绝对值不等式

解绝对值不等式。

$-3\left | 2x-1\right |+6<15$

可能的答案:

-1<x<5

-1<x<2

x<-3;x>5

-2<x<3

0<x<3

正确答案:

-1<x<2

解释：

首先，化简，使绝对值函数在不等式的一边。

$-3\left | 2x-1\right |+6<15\rightarrow-3\left | 2x-1\right |<9\rightarrow\left | 2x-1\right |>-3$ ．

请注意，当两边除以时，符号会翻转．

接下来，去掉绝对值符号后得到的两个不等式是

2x-1>-3 而且 2x-1<3 ．

当你化简这两个不等式，你得到

x>-1 而且 x<2 ．

因此，解决方案是

-1<x<2 ．

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