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例子问题

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示例问题6:之前的微积分

这个函数 f(x) 是这样的,

f'(0) = 0

当你对函数求导时 f(x) ,你获得

f''(x) = x^2

关于函数点，你能得出什么结论 x=0 ?

可能的答案:

这个点是绝对的最小值。

这个点是一个拐点。

这个点是绝对最大值。

这个点是局部极小值。

这个点是局部最大值。

正确答案:

这个点是一个拐点。

解释：

我们有一个点 $f^{'}(x)=0$ ．通过二阶导数检验我们知道，如果二阶导数为负，函数在这一点有最大值。如果二阶导数是正的，函数在这一点有最小值。如果二阶导数为零，函数在这一点有一个拐点。

把0代入二阶导得到

f''(0)=0

这个点是一个拐点。

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示例问题7:之前的微积分

考虑到功能

f(x)=x^2-x

求函数在区间上的最大值 $\left [ 0,1 \right ]$ ．

可能的答案:

-0.5

0.5

正确答案:

解释：

注意在这个区间上 $\left [ 0,1 \right ]$ ,这个术语 $\ x^{2}$ 总是小于或等于．所以函数在点处最大 x^2=x ．这发生在 x=0 而且 x=1 ．

把1或0代入原函数 f(x) 产生正确的答案0。

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例子问题1:衍生品

在什么-interval是以下函数的相对最小值和相对最大值?

f(x)=x^3-3x^2-4x

可能的答案:

$\textup{Relative minimum in}\ \left ( -1,0\right )\textup{and a relative maximum in}\ \left ( 0,4\right )$

$\textup{There are no relative extrema}$

$\textup{Relative maximum in}\ \left ( -1,0\right )\textup{and a relative minimum in}\ \left ( 0,4\right )$

$\textup{Relative maximum in}\ \left ( -4,0\right )\textup{and a relative minimum in}\ \left ( 0,1\right )$

$\textup{Relative minimum in}\ \left ( -4,0\right )\textup{and a relative maximum in}\ \left ( 0,1\right )$

正确答案:

$\textup{Relative maximum in}\ \left ( -1,0\right )\textup{and a relative minimum in}\ \left ( 0,4\right )$

解释：

三次函数最多有一个相对最小值和一个相对最大值。我们可以确定0是因式分解的 x=-1,0,4 ．然后我们只需要确定图在0之间是正还是负。

之间的曲线是正的而且(插入 x=-0.5 )和0到4之间的负数(代入 x=1 )．这也可以从图表中看出。

Wolframalpha graph_of_y__x3-3x2-4x_from_x__-5_to_x__5_y__-15_to_y15 - 2014 - 12 - 19 - _0045

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示例问题11:之前的微积分

函数的最小值是多少 f(x)=x^2-10x+26 ?

可能的答案:

(5,1)

(4,0)

(6,2)

(7,3)

正确答案:

(5,1)

解释：

抛物线的顶点形式为:

f(x)=a(x-h)^2+k

在哪里 {}(h,k) 是抛物线的顶点。

这个问题的函数可以简化为抛物线的矢量形式:

f(x)=(x-5)^2+1 ，

顶点在 (5,1) ．

由于抛物线是向上凹的，最小值将在抛物线的顶点处，也就是 (5,1) ．

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例子问题1:变化率问题

求函数的平均变化率 y=2e^x 在区间内 x=0 来 x=2 ．

可能的答案:

e^2

1-e^2

e(e-1)

e^2-1

正确答案:

e^2-1

解释：

平均变化率可以用 $\frac{f(2)-f(0)}{2-0}$ ．

在这里, f(2)=2e^2 , f(0)=2e^0=2(1)=2 ．

现在,我们有 $\frac{2e^2-2}{2-0}=\frac{2e^2-2}{2}=e^2-1$ ．

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例子问题2:变化率问题

函数定义为 f(x)=-ln(x+1) ．

求函数的平均变化率 [0,4] ．

可能的答案:

$ln\frac{-5}{4}$

$-\frac{ln5}{4}$

$-ln\frac{5}{4}$

$\frac{ln5}{4}$

正确答案:

$-\frac{ln5}{4}$

解释：

我们用平均变化率公式，得到 $\frac{f(4)-f(0)}{4-0}$ ．

现在 f(4)=-ln(4+1)=-ln5 , f(0)=-ln(0+1)=-ln1=0 ．

因此，答案是 $\frac{-ln5-0}{4-0}=-\frac{ln5}{4}$ ．

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示例问题3:变化率问题

假设我们可以建立利润模型，以美元计价带有等式的项 P(x)=3x^2-4x+2 ．

求利润的平均变化率 x=1 来 x=4 ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

我们需要把平均变化率的公式应用到利润方程中。因此，我们发现平均变化率为 $\frac{P(4)-P(1)}{4-1}$ ．

自 P(4)=3(4)^2-4(4)+2=3(16)-16+2=48-16+2=34 , P(1)=3(1)^2-4(1)+2=3(1)-4+2=3-4+2=1 ，我们发现平均变化率为 $\frac{34-1}{4-1}=\frac{33}{3}=11$ ．

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示例问题4:变化率问题

我们的利润,(以数千美元计)通过 P(x)=2x^2-6x+25 ．

求生产从4项增加到5项时利润的平均变化率。

可能的答案:

$\frac{4}{3}$

正确答案:

解释：

自 P(5)=2(5)^2-6(5)+25 ，我们看到这个等于 2(25)-30+25=50-30+25=20+25=45 ．现在让我们检查 P(4) ． P(4)=2(4)^2-6(4)+25=2(16)-24+25 它简化了．

因此平均变化率公式给了我们 $\frac{f(5)-f(4)}{5-4}=\frac{45-33}{5-4}=\frac{12}{1}=12$ ．

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示例问题5:变化率问题

假设一个顾客购买根据销售价格为基础的狗粮,在那里 D(p)=15-p^2+p ,在那里 $1\leq p\leq3$ ．

求出当价格从2美元增加到3美元时，需求的平均变化率。

可能的答案:

正确答案:

解释：

D(3)=15-9+3=6+3=9

D(2)=15-4+2=13

因此，平均变化率公式产生 $\frac{9-13}{3-2}=\frac{-4}{1}=-4$ ．

这意味着需求随着价格的上升而下降。

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示例问题6:变化率问题

一个大学新生在一个储蓄账户上投资100美元，连续支付5%的复利。因此,数量保存后年可以用 $A(t)=100e^{0.05t}$ ．

找出两者之间的账户金额的平均变化率 t=0 而且 t=3 即学生预计毕业的年份。

可能的答案:

$\$5.39$

$\$38.39$

$-\$5.39$

$\$38.73$

正确答案:

$\$5.39$

解释：

$A(3)=100e^{0.05*3}=100e^{0.15}\approx \$116.18$ ．

$A(0)=100e^{0.05*0}=100e^{0}=\$100.00$ ．

因此，平均变化率公式给我们 $\frac{A(3)-A(0)}{3-0}=\frac{\$116.18-\$100.00}{3-0}=\frac{\$16.18}{3}\approx \$5.39$ ．

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