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微积分预备:求函数的临界数

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例子问题

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例子问题1:求函数的临界数

什么是关键函数值 (x^3-2x^2+5) ?

可能的答案:

x=0, x=-2

其他答案都没有

x=0

x=2

$x=0;x=\frac{4}{3}$

正确答案:

$x=0;x=\frac{4}{3}$

解释：

如果一个数使表达式的导数等于0，它就是关键的。

因此，我们需要对表达式求导并将其设为0。我们可以对表达式中的每一项使用幂法则。

$f^{'} = 3x^2 - 4x + 0 = 0$

接下来，我们需要分解表达式:

x(3x-4)= 0

现在我们可以将每一项设为0来求出临界数:

x = 0

3x - 4 = 0

因此，我们的临界数是，

x=0

$x=\frac{4}{3}$

例子问题2:求函数的临界数

求函数的临界值。

f(x)=6x^3+3x^2+6

可能的答案:

$x=0,-\frac{1}{3}$

$x=\frac{1}{3},-\frac{1}{3}$

$x=-\frac{1}{3}$

$x=\frac{1}{2},-\frac{1}{4}$

$x=\frac{1}{2},-\frac{2}{3}$

正确答案:

$x=0,-\frac{1}{3}$

解释：

为了求出函数的临界值，我们必须令其导数为0。

首先，我们求出函数的导数为

$\frac{dy}{dx}=3(6)x^2+2(3)x$

=18x^2+6x

我们可以提出6x令表达式等于0

6x(3x+1)=0

从这里，我们可以很容易地确定

6x=0

x=0

而且

3x+1=0

3x=-1

$x=-\frac{1}{3}$ ．

因此，函数的临界值为 x=0 而且 $x=-\frac{1}{3}$ ．

例子问题3:求函数的临界数

求下列函数的临界点:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-15x+4$

可能的答案:

x=-15,x=4

x=-4,x=5

x=-4,x=15

x=-3,x=5

x=-5,x=3

正确答案:

x=-5,x=3

解释：

函数的临界点是其斜率为零的点，所以首先我们必须对函数求导，这样我们就有了一个描述其斜率的函数:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3+x^2-15x+4$

f'(x)=x^2+2x-15

现在我们有了导数，它告诉我们f(x)在任意点x处的斜率，我们可以令它等于0，并求解x来找到函数斜率为0的点，这些点是我们的临界点:

$x^2+2x-15=0\rightarrow (x+5)(x-3)=0\rightarrow x=-5,x=3$

问题4:求函数的临界数

求函数的临界数

f(x)=x^2 ．

可能的答案:

0.5

DNE

正确答案:

解释：

为了求出临界值，求出x的一阶导数为0或未定义的值。

对于函数

f(x)=ax^n

一阶导数是

$f^{'}(x)=anx^{n-1}$

因此,对于

f(x)=x^2

一阶导数是

$f'(x)=2x^{2-1}=2x$

让它等于0

2x=0

我们发现

x=0

例5:求函数的临界数

求函数的临界数

f(x)=x^3-3x^2 ．

可能的答案:

DNE

0, 2

正确答案:

0, 2

解释：

为了求出临界值，求出x的一阶导数为0或未定义的值。

对于函数

f(x)=ax^n ．

一阶导数是

$f^{'}(x)=anx^{n-1}$ ．

因此,对于

f(x)=x^3-3x^2

一阶导数是

$f'(x)=3x^{3-1}-3(2)x^{2-1}=3x^2-6x=3x(x-2)$ ．

令一阶导数为零

f'(x)=3x(x-2) = 0

产生值

x=0,2

例子问题6:求函数的临界数

求下列函数的临界数:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2-12x$

可能的答案:

x=5,x=7

x=-6,x=2

$x=\frac{1}{3},x=2$

x=-7,x=-5

x=-2,x=6

正确答案:

x=-2,x=6

解释：

一个函数的临界数是指它的一阶导数等于0的数。这些点告诉我们函数的斜率是0，这让我们知道函数的最小值和最大值在哪里。首先我们求出函数的导数，然后设它等于0，然后求出临界数:

$f(x)=\frac{1}{3}x^3-2x^2-12x$

f'(x)=x^2-4x-12=(x-6)(x+2)=0

x=-2,x=6

示例问题7:求函数的临界数

求下列函数的临界数:

$f(x)=\frac{2}{3}x^3-5x^2+12x$

可能的答案:

$x=-\frac{2}{3},x=4$

x=-12,x=5

x=-3,x=-2

x=2,x=3

x=5,x=12

正确答案:

x=2,x=3

解释：

一个函数的临界数是指它的一阶导数等于0的数。这些点告诉我们函数的斜率是0，这让我们知道函数的最小值和最大值在哪里。首先我们求出函数的导数，然后设它等于0，然后求出临界数:

$f(x)=\frac{2}{3}x^3-5x^2+12x$

f'(x)=2x^2-10x+12=2(x^2-5x+6)=2(x-2)(x-3)=0

x=2,x=3

例8:求函数的临界数

求下列函数的临界数:

$f(x)=x^3+\frac{3}{2}x^2-90x$

可能的答案:

x=-6,x=5

x=-4,x=3

x=-3,x=4

x=-5,x=6

$x=-\frac{3}{4},x=1$

正确答案:

x=-6,x=5

解释：

一个函数的临界数是指它的一阶导数等于0的数。这些点告诉我们函数的斜率是0，这让我们知道函数的最小值和最大值在哪里。首先我们求出函数的导数，然后设它等于0，然后求出临界数:

$f(x)=x^3+\frac{3}{2}x^2-90x$

f'(x)=3x^2+3x-90=3(x^2+x-30)=3(x+6)(x-5)=0

x=-6,x=5

问题9:求函数的临界数

求函数的临界值 $f(x)=3x^{3}$ ．

可能的答案:

答案未列出

x=0,-3

x=0,3

x=0

x=3,-3

正确答案:

x=0

解释：

函数的临界值 f(x) 这些值的导数是多少 f'(x)=0 ．在这种情况下:

$f(x)=3x^{3}$

$f'(x)=9x^{2}$

设置 f'(x)=0 ：

$9x^{2}=0$

$x^{2}=0$

x=0

例子问题10:求函数的临界数

求函数的临界值 $f(x)=x^{2}-2x+1$ ．

可能的答案:

x=1

正确答案未列出

x=1,-1

x=1,0

x=-1

正确答案:

x=1

解释：

函数的临界值 f(x) 这些值的导数是多少 f'(x)=0 ．在这种情况下:

$f(x)=x^{2}-2x+1$

f'(x)=2x-2

设置 f'(x)=0 ：

2x-2=0

2x=2

x=1

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