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例子问题

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例子问题1:应用程序问题

如果你投资存入有利息的储蓄账户每年，你的存款要翻倍需要多少钱?

可能的答案:

$\frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$ $\text{years}$

$\frac{\ln (1+i)}{2^n}$ $\text{years}$

$10 \text{ years}$

$2 \text{ years}$

正确答案:

$\frac{\ln 2}{\ln(1+i)}$ $\text{years}$

解释：

这个问题的值的方程是

$\small R(1+i)^n=2R$ ．

我们可以除以R得到

$\small \small (1+i)^n=2\,$ ．

在这种情况下，我们要解出n，也就是年限。如果我们两边都用自然对数和对数的性质，我们得到

$\small \ln(1+i)^n=n\ln(1+i)=\ln2$ ．

如果我们解出n，我们得到

$\small n = \frac{\ln(2)}{\ln(1+i)}$

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例子问题1:应用程序问题

如果你存款 $\$100$ 存入储蓄账户，可以赚 $5\%$ 年利率，两年后你的账户里有多少?

可能的答案:

$\$110.38$

$\$\small 110.25$

$\$110$

$\$105$

正确答案:

$\$\small 110.25$

解释：

由于我们的投资期限是两年，年利率是5%，我们将用这个公式来计算复利。

A=P(1+r)^t

在哪里

是钱的数额之后的时间。

是本金(初始金额)。

是利率。

是时间。

我们两年后的金额是:

$\small 100(1.05^2)=100(1.1025)=110.25$

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示例问题143:指数函数和对数函数

如果你存款存入一个每月复利的储蓄账户，之后你账户里的钱是多少如果你的名义利率是复合每月?

可能的答案:

$\small \small R\big(1+i\big)^{2}$

$\small \small R\bigg(1+\frac{i}{12}\bigg)^{2}$

$\small \small R\big(1+i\big)^{24}$

$\small R\bigg(1+\frac{i}{12}\bigg)^{24}$

正确答案:

$\small R\bigg(1+\frac{i}{12}\bigg)^{24}$

解释：

自名义利率是按月复利吗 $\frac{i}{12}$ 因为这是有效的月租金。

我们复合了年是个月。由于我们的利率是按月复利的，我们的时间需要以相同的单位计算，因此，月将是时间的单位。

把这个代入复利方程，得到表达式:

$A=P\left(1+\frac{i}{c}\right)^{ct}$

$A=R\left(1+\frac{i}{12}\right)^{12\cdot 2}$

$A=\small \small R \left(1+\frac{i}{12}\right)^{24}$

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例子问题1:应用程序问题

约翰开了一个储蓄帐户并存款 $\$1000$ 进去。这个储蓄账户收益 $5\%$ 每年的兴趣。后多年后，约翰取出所有的钱，存入另一个储蓄帐户 $6\%$ 每年的兴趣。几年后，约翰把钱取出来。

在这之后约翰还有多少钱年吗?(假设两个账户都有复利)

可能的答案:

$\$1300.71$

$\$1118.12$

$\$1276.28$

$\$1400.23$

$\$1157.63$

正确答案:

$\$1300.71$

解释：

把我们的数字代入复利公式，我们得到:

1000(1+.05)^3 = 1157.625 ．

约翰大概有 $\$1157.63$ 在头三年之后。

把钱存入另一个储蓄帐户后，他就有了存款

1157.63(1+.06)^2 = 1300.713068 后年。

所以约翰已经积累了大约 $\$1300.71$ ．

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例子问题1:应用程序问题

假设你贷款了几年前，它增加了 $6.9\%$ 的兴趣。假设你还没有支付任何款项，现在你欠了 $\$100000$ 在贷款。你贷款的时候值多少钱?

可能的答案:

$\$89558.26$

其他答案都没有。

$\$35789.47$

$\$38734.83$

$\$51312.47$

正确答案:

$\$51312.47$

解释：

复利计算公式如下:

A = P(1+i)^t

通过将已知值代入复利公式，我们得到:

$100000 = P(1.069)^{10}$ ．

从这里开始，替换已知值。

$\frac{100000}{1.069^{10}} = P$

除以 $1.069^{10}$

51312.47 = P

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例子问题151:指数函数和对数函数

要花多少年 $\$1000$ 长成 $\$5000$ 当 $\$1000$ 存入一个储蓄帐户，收益 $3\%$ 每年复利吗?

可能的答案:

其他答案都没有。

年

年

年

年

正确答案:

其他答案都没有。

解释：

正确答案是关于 54.45 年。

为了找出所需的年数，我们解出复利公式．

公式如下:

A = P(1+i)^t

替代已知值。

5000 = 1000(1+.03)^t

除以 1000 ．

5 = (1.03)^t

两边同时取自然对数。

$\ln5 = \ln ((1.05)^t)$

使用日志功率规则。

$\ln5 = t\ln1.03$

除以 $\ln1.03$ ．

$\frac{\ln5}{\ln1.03} = t$

54.44869 = t 用计算器简化一下。

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示例问题3:应用程序问题

样品在一定时间内的磷含量由下式给出:

$Q(t)=Q_0e^{-0.03t}$

在哪里在天, Q(t) 是磷的量之后天, Q_0 是第一天开始时磷的初始量。磷的初始量的百分比是多少天的衰减吗?

可能的答案:

$83\%$

$56\%$

$47\%$

$11\%$

$23\%$

正确答案:

$47\%$

解释：

问题要求t天后的磷含量占原始磷含量的百分比。如果我们把这个百分比考虑到方程中所示的变量，我们可以看到，下面的分数表示t天后的磷量占初始磷量的百分比:

$\frac{Q(t)}{Q_0}$

如果这是我们要求的分数，我们应该在方程两边除以 Q_0 要得到方程左边的这个分数:

$Q(t)=Q_0e^{-0.03t}$

$\frac{Q(t)}{Q_0}=\frac{Q_0e^{-0.03t}}{Q_0}$

$\frac{Q(t)}{Q_0}=e^{-0.03t}$

现在我们得到了用一个变量来表示的分数，，代入25天，求25天后初始量中磷的剩余百分比:

$\frac{Q(25)}{Q_0}=e^{-0.03(25)}=0.47$

经过25天的腐烂，磷的含量是初始含量的47%

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示例问题4:应用程序问题

元素的指数衰减由以下函数给出:

$Q(t)=Q_0e^{-0.04223t}$

在哪里 Q(t) 元素的数量是在后面吗天, Q_0 是元素的初始量。如果有剩下元素的千克天，元素的初始量是多少?

可能的答案:

127.1 公斤

106.3 公斤

82.4 公斤

45.3 公斤

63.7 公斤

正确答案:

106.3 公斤

解释：

问题要求我们求元素的初始量，首先我们解方程 Q_0 ：

$Q(t)=Q_0e^{-0.04223t}$

$Q_0=Q(t)e^{0.04223t}$

题目告诉我们25天已经过去了，这就得到，它还告诉我们25天后剩下的量，这就得到 Q(25) ．现在我们有了方程 Q_0 ，我们可以代入给定的值来求元素的初始量:

$Q_0=Q(25)e^{0.04223(25)}=(37)e^{0.04223(25)}=106.3$ 公斤

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示例问题5:应用程序问题

元素的指数衰减由函数给出:

$Q(t) = Q_oe^{-0.42t}$

在这个函数中, Q(t) 元素的数量是在后面吗天, Q_o 是元素的初始量。如果 $25\:kg$ 元素在7天后剩下了多少，一开始有多少元素，四舍五入到最接近的千克?

可能的答案:

$512\:kg$

$122\:kg$

$140\:kg$

$180\:kg$

$473\:kg$

正确答案:

$473\:kg$

解释：

为了找到初始量，你必须重新排列方程来解 Q_o ：

$Q(t) = Q_oe^{-0.42t}$

两边同时除以 $e^{-0.42t}$ ：

$Q_o = \frac{Q(t)}{e^{-0.42t}}$

代入问题给出的值

$Q_o = \frac{25}{e^{-0.42(7)}} \approx 473\:kg$

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例子问题2:应用程序问题

元素的指数衰减由函数给出

$Q(t) = Q_o e^{-0.9t}$

在这个函数中, Q(t) 之后还剩下钱吗天, Q_o 是元素的初始量。如果四舍五入到最接近的百分数，十天后元素还剩下百分之几?

可能的答案:

$52\%$

$26\%$

$47\%$

$0\%$

$10\%$

正确答案:

$0\%$

解释：

为了求出剩余元素的最终百分比，我们必须重新排列要解的方程 $e^{-0.9t}$ ：

$\frac{Q(t)}{Q_o} = e^{-0.9t}$

现在，用这十天作为，我们可以求出十天后元素的残留量:

$\frac{Q(10)}{Q_o} = e^{-0.9*10} \approx 0.0001 = 0.01\% \approx 0\%$

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