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多元微积分:散度，梯度和旋度

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例子问题

例子问题1:散度，梯度和旋度

计算下面向量场的旋度。

$\vec{F}=x^3y^2\ \vec{i}+x^2y^3z^4\ \vec{j}+x^2z^2\ \vec{k}$

可能的答案:

$curl\ \vec{F}=0$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}-\Big(2yz^2\Big)\vec{j}-\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2xy^3z^4+2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}+\Big(2yz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

正确答案:

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

解释：

为了计算旋度，我们需要回忆公式。

$\\curl\ \vec{F}=\triangledown \times \vec{F}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\ P & Q & R \end{vmatrix}\\ \\ \\ =\Big(\frac{\partial R}{\partial y}-\frac{\partial Q}{\partial z}\ \Big)\vec{i}+\Big(\frac{\partial P}{\partial z}-\frac{\partial R}{\partial x}\ \Big)\vec{j}+\Big(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\ \Big)\vec{k}$

在哪里，,对应于给定向量场的分量: $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$

现在让我们把它应用到我们的情况中。

$curl\ \vec{F}=\triangledown \times \vec{F}=\begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k}\\\\ \frac{\partial}{\partial x}& \frac{\partial}{\partial y} & \frac{\partial}{\partial z} \\\\ x^3y^2 & x^2y^3z^4 & x^2z^2 \end{vmatrix}$

$\\=\Big(\frac{\partial }{\partial y}\Big(x^2z^2\Big)-\frac{\partial}{\partial z}\Big(x^2y^3z^4\Big)\ \Big)\vec{i}+\Big(\frac{\partial}{\partial z}\Big(x^3y^2\Big)-\frac{\partial}{\partial x}\Big(x^2z^2\Big)\ \Big)\vec{j}+\Big(\frac{\partial}{\partial x}\Big(x^2y^3z^4\Big)-\frac{\partial}{\partial y}\Big(x^3y^2\Big)\ \Big)\vec{k}$

$=\Big(0-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(0-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

因此旋度是

$=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

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例子问题2:散度，梯度和旋度

计算 $div\vec{F}$ ,在那里 $\vec{F}=10x^2\ln(yz)\vec{i}+xyz\vec{j}+xz\ln(y)\vec{k}$ ．

可能的答案:

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(z)+yz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz-x\ln(y)$

$div\vec{F}=0$

正确答案:

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

解释：

我们要做的就是计算偏导数然后把它们加起来。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(10x^2\ln(yz))+\frac{\partial}{\partial y}(xyz)+\frac{\partial}{\partial z}(xz\ln(y))$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

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示例问题3:散度，梯度和旋度

计算下面向量场的旋度。

$\vec{F}=x^3y^2\ \vec{i}+x^2y^3z^4\ \vec{j}+x^2z^2\ \vec{k}$

可能的答案:

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}+\Big(2yz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(-2xy^3z^4+2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=\Big(2x^2z^3\Big)\vec{i}-\Big(2yz^2\Big)\vec{j}-\Big(-2x^3y\Big)\vec{k}$

$curl\ \vec{F}=0$

正确答案:

$curl\ \vec{F}=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

解释：

为了计算旋度，我们需要回忆公式。

在哪里，,对应于给定向量场的分量: $\vec{F}=P\vec{i}+Q\vec{j}+R\vec{k}$

现在让我们把它应用到我们的情况中。

$=\Big(0-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(0-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

因此旋度是

$=\Big(-4x^2y^3z^3\Big)\vec{i}+\Big(-2xz^2\Big)\vec{j}+\Big(2xy^3z^4-2x^3y\Big)\vec{k}$

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示例问题4:散度，梯度和旋度

计算 $div\vec{F}$ ,在那里 $\vec{F}=10x^2\ln(yz)\vec{i}+xyz\vec{j}+xz\ln(y)\vec{k}$ ．

可能的答案:

$div\vec{F}=20x\ln(z)+yz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=0$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz-x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)-xz+x\ln(y)$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

正确答案:

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

解释：

我们要做的就是计算偏导数然后把它们加起来。

$div\vec{F}=\frac{\partial}{\partial x}(10x^2\ln(yz))+\frac{\partial}{\partial y}(xyz)+\frac{\partial}{\partial z}(xz\ln(y))$

$div\vec{F}=20x\ln(yz)+xz+x\ln(y)$

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