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多元微积分:变量变换

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例子问题

例子问题1:变量变换

将下列转换为球坐标。

$x=\sin(t)$

$y=\cos(t)$

z=1

可能的答案:

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=0$

$\theta=\tan(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

$\rho=2$

$\phi=-\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

$\rho=1$

$\phi=\frac{\pi}{2}$

$\theta=\tan(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

正确答案:

$\rho=\sqrt{2}$

$\phi=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

解释：

为了转换到球坐标，我们需要记住转换方程。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{y}{x}\Big)$

$\phi=\tan^{-1}\Big(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\Big)$

现在我们把这个应用到我们的问题上。

$\rho=\sqrt{(\sin(t))^2+(\cos(t))^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$\phi=\tan^{-1}\Big(\frac{\sqrt{(\sin{t})^2+(\cos{t})^2}}{1}\Big)=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\Big)=\tan^{-1}(\cot(t))$

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例子问题2:变量变换

评估 $\int \int_R 3x+2y \ dA$ ,在那里顶点为的梯形区域是 (0,0) ， (5,0) ， $(\frac{5}{2}, \frac{5}{2})$ , $(\frac{5}{2}, -\frac{5}{2})$ ，

使用变换 x=2u+3v , y=2u-3v ．

可能的答案:

$\frac{37}{4}$

$\frac{375}{2}$

$\frac{35}{4}$

$\frac{375}{4}$

正确答案:

$\frac{375}{4}$

解释：

我们要做的第一件事是找出构成梯形的直线的一般方程。

y=x

y=-x

y=-x+5

y=x-5

现在我们有了梯形的一般方程，现在我们需要把变换代入这些方程。

y=x

2u+3v=2u-3v

$-6v=0\rightarrow v=0$

y=-x

2u+3v=-2u+3v

$4u=0\rightarrow u=0$

y=-x+5

2u+3v=-2u+3v+5

$4u=5\rightarrow u=\frac{5}{4}$

y=x-5

2u+3v=2u-3v-5

$-6v=-5\rightarrow v=\frac{5}{6}$

所以我们的区域是一个矩形 $0 \leq u \leq \frac{5}{4}$ ， $0 \leq v \leq \frac{5}{6}$

接下来我们需要计算雅可比矩阵。

$\begin{vmatrix} 2 & 3\\ 2 & -3 \end{vmatrix} =-6-6=-12$

现在我们可以把积分放在一起。

$\int_{0}^{\frac{5}{6}} \int_{0}^{\frac{5}{4}} (3(2u+3v)+2(2u-3v))) \cdot \left | -12\right | \ du\ dv$

$=\int_{0}^{\frac{5}{6}} \int_{0}^{\frac{5}{4}} 120u+36v \ du\ dv$

$=\int_{0}^{\frac{5}{6}} 60u^2+36uv \Big|_{0}^{\frac{5}{4}}\ dv$

$=\int_{0}^{\frac{5}{6}} 60( \frac{5}{4})^2+36(\frac{5}{4})v-0 \ dv$

$=\int_{0}^{\frac{5}{6}} \frac{375}{4}+45v \ dv$

$=\frac{375}{4}v+\frac{45}{2}v^2\Big|_{0}^{\frac{5}{6}} \ dv$

$=\frac{375}{4}\cdot\frac{5}{6}+\frac{45}{2}\cdot\Big(\frac{5}{6}\Big)^2 -0=\frac{375}{4}$

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例子问题3:变量变换

将下列转换为球坐标。

$x=\sin(t)$

$y=\cos(t)$

z=1

可能的答案:

$\rho=1$
$\phi=\frac{\pi}{2}$
$\theta=\tan(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$
$\phi=-\frac{\pi}{4}$
$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

$\rho=2$
$\phi=-\frac{\pi}{4}$
$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$
$\phi=0$
$\theta=\tan(\cot(t))$

$\rho=\sqrt{2}$
$\phi=\frac{\pi}{4}$
$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

正确答案:

$\rho=\sqrt{2}$
$\phi=\frac{\pi}{4}$
$\theta=\tan^{-1}(\cot(t))$

解释：

为了转换到球坐标，我们需要记住转换方程。

$\rho=\sqrt{x^2+y^2+z^2}$

$\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{y}{x}\Big)$

$\phi=\tan^{-1}\Big(\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z}\Big)$

现在我们把这个应用到我们的问题上。

$\rho=\sqrt{(\sin(t))^2+(\cos(t))^2+1^2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

$\phi=\tan^{-1}\Big(\frac{\sqrt{(\sin{t})^2+(\cos{t})^2}}{1}\Big)=\tan^{-1}(1)=\frac{\pi}{4}$

$\theta=\tan^{-1}\Big(\frac{\cos(t)}{\sin(t)}\Big)=\tan^{-1}(\cot(t))$

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