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数学建模:混沌与分形

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例子问题

例子问题1:动态模型

有两种相似的猴子栖息在同一片森林里。A物种的内在增长率为4%，B物种为7%。该森林的容量估计为125,000只A物种猴子和45万只B物种猴子。在过去的100年里，偷猎这些猴子导致了每个物种的数量下降。物种A有4000个种群，物种B有80000个种群。使用一个离散模型来预测以几年为时间步长的人口增长。可以使用多大的时间步长来维持具有等价定性行为的连续时间模型?

假设 $\alpha =10^{-8}$ ， x_b=100

可能的答案:

h=30

h=37

h=47

h=57

h=50

正确答案:

h=47

解释：

识别已知信息和动力系统。

$\\A=\text{number of species A monkey} \\B=\text{number of species B monkey} \\g_A=\text{growth rate of species A per year} \\g_B=\text{growth rate of species B per year} \\c_A=\text{competition on species A} \\c_B=\text{competition on species B} \\\\g_A=0.04A(1-A/125,000) \\g_B=0.07B(1-B/450,000) \\c_A=c_B=\alpha AB \\A\geq 0, b\geq 0 \\\alpha \epsilon \mathbb{R}>0$

$\\\frac{dx_1}{dt}=f_1(x_1,...,x_n) \\\vdots \\\\\frac{dx_n}{dt}=f_n(x_1,...,x_n)$

动力系统方程为:

$\frac{dx}{dt}=F(x)$

从这里用欧拉方法求解离散时间动力系统。

$\frac{\Delta x}{\Delta t}=F(x)$

现在制定模型

$\\\frac{dx_1}{dt}=f_1(x_1,x_2)=0.04x_1\left(1-\frac{x_1}{125,000} \right )-\alpha x_1x_2 \\\\\frac{dx_2}{dt}=f_1(x_1,x_2)=0.07x_1\left(1-\frac{x_1}{450,000} \right )-\alpha x_1x_2$

$\\x_1=\text{species A monkey} \\x_2=\text{species B monkey}$

现在把这些方程转化成一组差分方程。

$\\\Delta x_1=f_1(x_1,x_2)\Delta t \\\Delta x_2=f_2(x_1,x_2)\Delta t$

$\\\Delta x_1= \text{change in the species A monkey population} \\\Delta x_2= \text{change in the species B monkey population}$

假设

$\\\alpha =10^{-8} \\x_1(0)=4,000 \\x_2(0)=80,000\\N=50$

在哪里表示在实现欧拉方法时计算机将使用的迭代次数。

的时间步 $h=\Delta t$ 将需要改变，并重新制定模型，以计算时间步长可以有多大，否则它将不像连续时间模型。

用欧拉方法对B种猴子的种群进行计算机实现，得到下图。

截图2016年05月05日上午6.06.50

可以看出 h=47 是函数开始出现混沌且不代表连续系统行为之前的最大时间步长。

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