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数学建模:动态模型

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例子问题

例子问题1:动态模型

有两种相似的猴子栖息在同一片森林里。A物种的内在增长率为4%，B物种为7%。该森林的容量估计为125,000只A物种猴子和45万只B物种猴子。在过去的100年里，偷猎这些猴子导致了每个物种的数量下降。物种A有4000个种群，物种B有80000个种群。使用一个离散模型来预测以几年为时间步长的人口增长。可以使用多大的时间步长来维持具有等价定性行为的连续时间模型?

假设 $\alpha =10^{-8}$ ， x_b=100

可能的答案:

h=30

h=37

h=47

h=57

h=50

正确答案:

h=47

解释：

识别已知信息和动力系统。

$\\A=\text{number of species A monkey} \\B=\text{number of species B monkey} \\g_A=\text{growth rate of species A per year} \\g_B=\text{growth rate of species B per year} \\c_A=\text{competition on species A} \\c_B=\text{competition on species B} \\\\g_A=0.04A(1-A/125,000) \\g_B=0.07B(1-B/450,000) \\c_A=c_B=\alpha AB \\A\geq 0, b\geq 0 \\\alpha \epsilon \mathbb{R}>0$

$\\\frac{dx_1}{dt}=f_1(x_1,...,x_n) \\\vdots \\\\\frac{dx_n}{dt}=f_n(x_1,...,x_n)$

动力系统方程为:

$\frac{dx}{dt}=F(x)$

从这里用欧拉方法求解离散时间动力系统。

$\frac{\Delta x}{\Delta t}=F(x)$

现在制定模型

$\\\frac{dx_1}{dt}=f_1(x_1,x_2)=0.04x_1\left(1-\frac{x_1}{125,000} \right )-\alpha x_1x_2 \\\\\frac{dx_2}{dt}=f_1(x_1,x_2)=0.07x_1\left(1-\frac{x_1}{450,000} \right )-\alpha x_1x_2$

$\\x_1=\text{species A monkey} \\x_2=\text{species B monkey}$

现在把这些方程转化成一组差分方程。

$\\\Delta x_1=f_1(x_1,x_2)\Delta t \\\Delta x_2=f_2(x_1,x_2)\Delta t$

$\\\Delta x_1= \text{change in the species A monkey population} \\\Delta x_2= \text{change in the species B monkey population}$

假设

$\\\alpha =10^{-8} \\x_1(0)=4,000 \\x_2(0)=80,000\\N=50$

在哪里表示在实现欧拉方法时计算机将使用的迭代次数。

的时间步 $h=\Delta t$ 将需要改变，并重新制定模型，以计算时间步长可以有多大，否则它将不像连续时间模型。

用欧拉方法对B种猴子的种群进行计算机实现，得到下图。

截图2016年05月05日上午6.06.50

可以看出 h=47 是函数开始出现混沌且不代表连续系统行为之前的最大时间步长。

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例子问题2:动态模型

在一块草地上生长着两种野花，一种是绿色的匍匐花，另一种是黄色的雏菊。更可取的花是黄色雏菊，因为它们可以采摘并作为花束出售。黄色雏菊也是两者中生长较慢的一种。绿地匍匐植物生长更快，消耗更多的草地。黄色雏菊通过长得更高来与绿色花爬虫竞争，并遮蔽了爬虫的新生长。黄色雏菊对某些类型的昆虫也有更强的抵抗力。这两种类型的花能在草地的一部分上共存吗?还是一种花压倒另一种花，使其灭绝?

可能的答案:

两种花将共存。

绿色爬行动物将会灭绝。

稳态分析不能回答这个问题。

黄色雏菊将会灭绝。

两种花都会茁壮成长。

正确答案:

稳态分析不能回答这个问题。

解释：

由于两种不同的花之间存在竞争，生长速率函数为，

g(P)=rP-aP^2

在哪里是内在增长率和 a<<r 衡量资源限制的强度。

现在把这个问题看作稳态下的动态模型。

换句话说,

$\\f_1(x_1,...,x_n) \\f_2(x_1,...,x_n)$

从这里开始，用数学术语确定问题的已知内容。

$\\D=\text{Yellow Daisy Population} \\C=\text{Green Floor Crawler Population} \\g_D=\text{growth rate of yellow daisies} \\g_C=\text{growth rate of green floor crawler population} \\c_D=\text{loss due to competition for yellow daisies} \\c_C=\text{loss due to competition for green floor crawler}$

$\\g_D=r_1D-a_1D^2 \\g_C=r_2C-a_2C^2 \\c_D=b_1CD \\c_C=b_2CD \\D\geq0, C\geq0 \\r_1,r_2,a_1,a_2,b_1, b_2 \text{are positive reals}$

要回答这个问题，决定是否 $C\rightarrow0$ 或 $D\rightarrow0$ ．

为了建立模型，让

$\\x_1=D \\x_2=C \\\begin{Bmatrix} (x_1,x_2):x_1\geq0, x_2\geq0 \end{Bmatrix}$

其中稳态方程如下。

$\\\\r_1x_1-a_1x_1^2-b_1x_1x_2=0 \\r_2x_2-a_2x_2^2-b_2x_1x_2=0$

对于特定的问题，兴趣点位于两个函数的交点处。

$\\(0,0) \\\left( 0,\frac{r_2}{a_2}\right) \\\left(\frac{r_1}{a_1},0\right)$

和交叉点

$\\a_1x_1+b_1x_2=r_1 \\b_2x_1+a_2x_2=r_2$

用克莱默法则求解如下结果。

$\\x_1=\frac{r_1a_2-r_2b_1}{a_1a_2-b_1b_2} \\\\\\x_2=\frac{a1_r2-b_2r_1}{a_1a_2-b_1b_2}$

当问到共存的问题时我们发现，

$\frac{r_2}{a_2}<\frac{r_1}{b_1}$ 而且 $\frac{r_1}{a_1}<\frac{r_2}{b_2}$

其中经过进一步的检验，得出稳态分析不能回答这个问题的结论。

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