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线性代数:逆

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例子问题

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例子问题1:逆

计算 $A^{-1}$ ,在那里

$A=\begin{bmatrix} 1 & 5\\ 2 & 4 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$A^{-1}=\left[\begin{matrix} -\frac{2}{3}& -\frac{5}{6}\\ -\frac{1}{3}& \frac{1}{6} \end{matrix}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{matrix} -\frac{2}{9}& \frac{5}{8}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{9} \end{matrix}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{matrix} -\frac{2}{3}& \frac{5}{8}\\ \frac{1}{6}& -\frac{1}{8} \end{matrix}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{matrix} -\frac{2}{11}& \frac{5}{11}\\ \frac{1}{11}& -\frac{1}{10} \end{matrix}\right]$

$A^{-1}=\left[\begin{matrix} -\frac{2}{3}& \frac{5}{6}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{6} \end{matrix}\right]$

正确答案:

$A^{-1}=\left[\begin{matrix} -\frac{2}{3}& \frac{5}{6}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{6} \end{matrix}\right]$

解释：

第一步，是用单位矩阵创建增广矩阵。

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 5 \\ 2 &4 \\ \end{matrix} \right | \left \begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{matrix} \right ]$

为了求逆矩阵，我们需要做的就是在左边得到单位矩阵。

$2R_1-R_2\rightarrow R_2$

$A=\left[ \begin{matrix} 1 & 5 \\ 0 &6 \\ \end{matrix} \right | \left \begin{matrix} 1 & 0 \\ 2 & -1 \\ \end{matrix} \right ]$

$\frac{1}{6}R_2\rightarrow R_2$

$A=\left[\begin{matrix} 1 & 5\\ 0 & 1 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} 1& 0\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{6} \end{matrix}\right]$

$-5R_2+R_1\rightarrow R_1$

$A=\left[\begin{matrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{matrix}\right| \left.\begin{matrix} -\frac{2}{3}& \frac{5}{6}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{6} \end{matrix}\right]$

因为我们在左边有单位矩阵，我们已经解出了逆矩阵。

$A^{-1}=\left[\begin{matrix} -\frac{2}{3}& \frac{5}{6}\\ \frac{1}{3}& -\frac{1}{6} \end{matrix}\right]$

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例子问题2:逆

求矩阵的逆 $\begin{bmatrix} 1 & -2\\ -3& 3\end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 1 & 2\\ -3& 3\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -\frac{1}{3} & \frac{2}{3}\\ -1& -1\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1 & -\frac{2}{3} \\ -1& -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -1 & \frac{2}{3}\\ -1& -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} -\frac{3}{8} & \frac{1}{4}\\ -\frac{3}{8}& \frac{1}{8}\end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} -1 & -\frac{2}{3} \\ -1& -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$

解释：

要求逆矩阵，首先求行列式。在这种情况下，行列式是 $1\cdot3 - (-3)(-2) = 3 - 6 = -3$

逆矩阵是通过相乘得到的 $-\frac{1}{3} \begin{bmatrix} 3 & 2\\ 3& 1\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 &-\frac{2}{3} \\ -1& -\frac{1}{3}\end{bmatrix}$

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示例问题3:逆

求矩阵的逆 $\begin{bmatrix} 5 & 0\\ -1& 2\end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 0.2 & 0 \\ 0.1& 0.5\end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0.2 &0 \\ -0.1&0.5 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 50 & 20 \\0 & -10 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0.5 & 0\\ -0.1& 0.2 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 0.2 & 0 \\ 0.1& 0.5\end{bmatrix}$

解释：

首先，求行列式: (5)(2) - (0)(-1) = 10 + 0 = 10

现在乘 $\frac{1}{10}$ 的矩阵 $\begin{bmatrix} 2 &0 \\1 & 5\end{bmatrix}$ 即原来的矩阵，2和5交换，符号改变为-1和0。

$0.1 \begin{bmatrix} 2&0 \\1 & 5\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0.2 &0 \\ 0.1 & 0.5\end{bmatrix}$

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示例问题4:逆

求矩阵A的逆矩阵。

$A = \begin{bmatrix} 2&3 \\ 4&-6 \end{bmatrix}$

可能的答案:

矩阵A是不可逆的。

$A^{-1}=\begin{bmatrix} -6&2 \\ -3&-4 \end{bmatrix}$

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 2&-6 \\ 4&3 \end{bmatrix}$

$A^{-1} = \begin{bmatrix} 2& 4\\ 3&-6 \end{bmatrix}$

$A^{-1}=\begin{bmatrix} -6&4 \\3 & 2\end{bmatrix}$

正确答案:

矩阵A是不可逆的。

解释：

对于任何2x2矩阵，要确定它是否可逆，我们必须首先计算它的行列式。如果行列式等于0，那么这个矩阵是不可逆的。如果它不等于0，那么它的逆函数可以用下面的公式求出来:

$Let A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$

$A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d& -b\\ -c& a\end{bmatrix}$

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示例问题5:逆

求矩阵A的逆矩阵。

$A=\begin{bmatrix} 4&3 \\ 6&5 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$A^{-1}=\begin{bmatrix} -3&2 \\ 5/2& -3/2\end{bmatrix}$

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 5/2& -3/2\\-3 &2 \end{bmatrix}$

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 2&3/2 \\3 & 5/2\end{bmatrix}$

矩阵A是不可逆的。

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 5&-3 \\ -6&4 \end{bmatrix}$

正确答案:

$A^{-1}=\begin{bmatrix} 5/2& -3/2\\-3 &2 \end{bmatrix}$

解释：

$Let A=\begin{bmatrix} a&b \\ c&d \end{bmatrix}$

$A^{-1}= \frac{1}{ad-bc}\begin{bmatrix} d& -b\\ -c& a\end{bmatrix}$

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例子问题1:逆

求矩阵A的逆

$A=\begin{bmatrix} 32&1 \\ 5&8 \\ -1&6 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 1/32&5/6 \\ 8/9& 21/23\\ 1/2& 0 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 5&32 &-1 \\ 1&6 &1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 32&5 &-1 \\ 1&8 &6 \end{bmatrix}$

不可能的

正确答案:

不可能的

解释：

这个矩阵不是方阵，所以它没有逆矩阵。

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例子问题1:逆

求矩阵A的逆

$A = \begin{bmatrix} 1&5 \\ 4&20 \end{bmatrix}$

可能的答案:

逆不存在

$\begin{bmatrix} 1/5&1 \\ 4/5&4 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 20&-5 \\ -4& 1 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0&1 \\ 1&0 \end{bmatrix}$

正确答案:

逆不存在

解释：

这个矩阵是方阵，所以它可以有逆矩阵。接下来我们求行列式。这个矩阵的行列式是0，所以它没有逆矩阵。

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示例问题8:逆

求矩阵A的逆

$A=\begin{bmatrix} 2&-1 \\ 5&2 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$\begin{bmatrix} 1/9&2/9 \\ 2/9&-5/9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2/9&-5/9 \\ 1/9&2/9 \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2/9&1/9 \\ -5/9&2/9 \end{bmatrix}$

逆不存在。

$\begin{bmatrix} -5/9&1/9 \\ 2/9&2/9 \end{bmatrix}$

正确答案:

$\begin{bmatrix} 2/9&1/9 \\ -5/9&2/9 \end{bmatrix}$

解释：

要求一个矩阵的逆，首先要看这个矩阵是否为方阵。如果它不是平方，它就没有倒数。接下来，你必须找到行列式。如果行列式是0，那么矩阵就没有逆矩阵。这个矩阵的行列式是ad-bc = 9，因此它有一个逆矩阵。为了求一个2x2矩阵的逆，我们首先把它写成增广形式。

$\begin{bmatrix} 2&-1 &1 &0 \\ 5&2 &0 & 1 \end{bmatrix}$ 首先除以R1/2 $\begin{bmatrix} 1&-1/2 &1/2 &0 \\ 5&2 &0& 1\end{bmatrix}$ 接下来我们将用R2-5R1消除第一列 $\begin{bmatrix} 1&-1/2 &1/2 &0 \\ 0&9/2 &-5/2& 1 \end{bmatrix}$ ，接下来我们将除9R2/2来设置第二个主元。 $\begin{bmatrix} 1&-1/2 &1/2 &0 \\ 0&1 &-5/9& 2/9 \end{bmatrix}$ 。接下来我们用R1+1/2R2消去第二列。 $\begin{bmatrix} 1&0 &2/9 &1/9 \\ 0&1 &-5/9& 2/9 \end{bmatrix}$ 。现在我们有了左边的单位矩阵，我们的答案在右边。然而，有一个更简单的方法来确定一个2x2矩阵的逆。诀窍是交换a和d点的数，在b和c点的数前面加上负号然后把所有的数除以行列式。对于这个示例, $\begin{bmatrix} 2&1 \\ -5& 2 \end{bmatrix}$ 然后除以行列式9，然后化简。

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例子问题2:逆

求矩阵A的逆

$A = \begin{bmatrix} 3&2 & 6\\ 7&0 &1 \end{bmatrix}$

可能的答案:

相反的情况并不存在。

$A = \begin{bmatrix} 2&3 & 7\\ 0&7&4 \end{bmatrix}$

20.

$\begin{bmatrix} 7&3 \\ 0&2 \\ 1& 6 \end{bmatrix}$

$A = \begin{bmatrix} 3/3&1 & 3\\ 7/2&0 &1/2 \end{bmatrix}$

正确答案:

相反的情况并不存在。

解释：

这个矩阵不是方阵，所以它没有逆矩阵。

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示例问题3:逆

求矩阵A的逆

$A=\begin{bmatrix} 2& 3\\ 4& 6 \end{bmatrix}$

可能的答案:

$A=\begin{bmatrix} 3& 2\\ 6& 4 \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} 2/3& 1\\ 4/3& 2 \end{bmatrix}$

$A=\begin{bmatrix} 1& 3/2\\ 2& 3 \end{bmatrix}$

这个矩阵没有逆矩阵。

正确答案:

这个矩阵没有逆矩阵。

解释：

要确定一个矩阵的逆，首先必须验证该矩阵是否是方阵。接下来计算行列式。这个矩阵的行列式是0，所以它没有逆矩阵。

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亚利桑那州立大学，数学学士。亚利桑那州立大学，哲学博士，应用数学…

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