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ISEE高级定量:球体

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例子问题

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例子问题1:如何求球体的半径

球体的体积是一立方码。半径以英寸为单位。

可能的答案:

$\frac{ \sqrt{3 \pi } } {2 \pi} \textrm{ in}$

$\frac{ 18\sqrt[3]{6 \pi^{2}} } {\pi} \textrm{ in}$

$\frac{ \sqrt[3]{6 \pi^{2}} } {2\pi}\textrm{ in}$

$\frac{ 18\sqrt{3 \pi } } {\pi} \textrm{ in}$

$\frac{ 6\sqrt[3]{6 \pi^{2}} } {\pi} \textrm{ in}$

正确答案:

$\frac{ 18\sqrt[3]{6 \pi^{2}} } {\pi} \textrm{ in}$

解释：

体积一个有半径的球是

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$ ．

为了求出以码为单位的半径，我们设 V = 1 和解决．

$1 = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

$\frac{3}{4} \cdot 1 =\frac{3}{4} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}$

$\frac{3}{4} = \pi r^{3}$

$\frac{1}{\pi} \cdot \frac{3}{4} =\frac{1}{\pi} \cdot \pi r^{3}$

$\frac{3}{4\pi} = r^{3}$

$r = \sqrt[3]{ \frac{3}{4\pi} } = \sqrt[3]{ \frac{3\cdot 2 \pi^{2}}{4\pi \cdot 2 \pi^{2}} }= \sqrt[3]{ \frac{6 \pi^{2}}{8 \pi^{3}} } = \frac{ \sqrt[3]{6 \pi^{2}} } {2\pi}$ 码。

因为题目要求半径以英寸为单位，所以乘以36:

$36 \times \frac{ \sqrt[3]{6 \pi^{2}} } {2\pi} = \frac{ 18\sqrt[3]{6 \pi^{2}} } {\pi}$

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问题#333:几何

而言, $\pi$ 以立方英尺为单位，给出一个直径为36英寸的球罐的体积。

可能的答案:

$9 \pi \textrm{ ft}^{3}$

$3 \pi \textrm{ ft}^{3}$

$\frac{9}{2} \pi \textrm{ ft}^{3}$

$18 \pi \textrm{ ft}^{3}$

$36 \pi \textrm{ ft}^{3}$

正确答案:

$\frac{9}{2} \pi \textrm{ ft}^{3}$

解释：

36英寸= $36 \div 12 = 3$ 英尺，水箱的直径。这个的一半，或者 $\frac{3}{2}$ 英尺是半径。集 $r = \frac{3}{2}$ ，代入体积公式，求解：

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

$V = \frac{4}{3} \pi\left \cdot \left( \frac{3}{2} \right ) ^{3}$

$V = \frac{4}{3}\cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \frac{3}{2} \cdot \pi\left$

$V = \frac{1}{1}\cdot \frac{1}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{3}{2} \cdot \pi\left$

$V = \frac{9}{2} \pi$

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例子问题1:球体

哪个数量更大?

(a)有半径的球体的体积

(b)有边长的立方体的体积

可能的答案:

从所提供的信息无法判断

(a)和(b)相等

(一)更大

(b)更大

正确答案:

(b)更大

解释：

有半径的球有直径并且可以刻在一个边长的立方体里面．因此，(b)中的立方体体积更大。

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例子问题2:球体

哪个数量更大?

(a)有边长的立方体的体积英寸。

(b)有半径的球体的体积英寸。

可能的答案:

(a)和(b)相等。

(b)更大。

(一)更大。

从所提供的信息无法判断。

正确答案:

(一)更大。

解释：

你不需要计算这些数字的体积。你所要做的就是观察一个有半径的球英寸,直径英寸，因此可以在立方体内部刻有边长英寸。这使立方体的体积更大，使(a)的数量更大。

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示例问题3:球体

哪个数量更大?

(a)直径为一英尺的球体的体积

(b) $864 \textrm{ in}^{3}$

可能的答案:

(a)和(b)相等。

(b)更大。

从所提供的信息无法判断。

(一)更大。

正确答案:

(一)更大。

解释：

球面的半径是它直径1英尺的一半，也就是6英寸，代入 r = 6 ：

$V = \frac{4}{3} \pi r ^{3}$

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 6 ^{3}$

$V = \frac{4}{3} \pi \cdot 216$

$V = 288 \pi \approx 288 \cdot 3.14 = 904.32$ 立方英寸,

大于 $864 \textrm{ in}^{3}$ ．

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示例问题4:球体

是正数。哪个数量更大?

(A)有边长的立方体的体积

(B)有半径的球体的体积

可能的答案:

(A)和(B)相等

从所给的信息中不可能确定哪个更大

(B)更大

(一)更大

正确答案:

(一)更大

解释：

这里不需要计算，对于有半径的球来说-然后是直径-可以刻在一个边长的立方体里面．这使得立方体的体积(A)更大。

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问题338:几何

哪个数量更大?

(a)有表面积的球的半径 $36 \pi$

(b)有体积的球的半径 $36 \pi$

可能的答案:

(b)是较大的数量

无法确定(a)和(b)哪个更大

(a)和(b)相等

(a)是较大的数量

正确答案:

(a)和(b)相等

解释：

在给定半径的情况下，求球面表面积的公式,是

$A = 4 \pi r^{2}$

(a)中的球有表面积 $36 \pi$ ,所以

$36 \pi = 4 \pi r^{2}$

$36 \pi\div 4 \pi = 4 \pi r^{2} \div 4 \pi$

$9 = r^{2}$

$r = \sqrt{9} = 3$

在给定半径的情况下，计算球体体积的公式,是

$V = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

(b)中的球体有体积 $36 \pi$ ,所以

$36 \pi = \frac{4}{3} \pi r^{3}$

$\frac{3} {4} \cdot 36 \pi = \frac{3} {4} \cdot \frac{4}{3} \pi r^{3}$

$27 \pi = \pi r^{3}$

$27 \pi\div \pi = \pi r^{3} \div \pi$

$27 = r^{3}$

$r = \sqrt[3]{27} = 3$

两个球的半径都是3。

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例子问题1:如何求球体的表面积

而言, $\pi$ 给出直径为20英尺的球形水箱的表面积，单位为平方英寸。

可能的答案:

$230,400 \pi\textrm{ in}^{2}$

$18,432,000\pi\textrm{ in}^{2}$

$307,200\pi\textrm{ in}^{2}$

$2,304,000 \pi \textrm{ in}^{2}$

$57,600 \pi\textrm{ in}^{2}$

正确答案:

$57,600 \pi\textrm{ in}^{2}$

解释：

英尺= $20 \times 12 = 240$ 英寸，水箱的直径;这个的一半，或者说120英寸，是半径。集 r = 120 ，代入表面积公式，求解：

$A =4\pi r^{2}$

$A =4\pi \cdot 120^{2}$

$A =4\pi \cdot 14,400$

$A = 57,600 \pi$

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例子问题2:如何求球体的表面积

哪个数量更大?

(a)半径为1的球的表面积

(b) 12

可能的答案:

从所提供的信息无法判断。

(a)和(b)相等。

(b)更大。

(一)更大。

正确答案:

(一)更大。

解释：

用这个公式可以求出球体的表面积

$A = 4\pi r^{2}$ ．

给定球体的表面积可通过代入求出 r = 1 ：

$A = 4\pi \cdot 1^{2} = 4\pi$

$\pi > 3$ 所以 $4 \times \pi >4 \times 3$ ,或 $4\pi > 12$

这使得(a)更大。

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例子问题1:球体

球A有体积 $972 \pi \textrm{ in}^{3}$ ．球B有表面积 $400 \pi \textrm{ in}^{2}$ ．哪个数量更大?

(a)球a的半径

(b)球b的半径

可能的答案:

(b)更大

从所提供的信息无法判断

(a)和(b)相等

(一)更大

正确答案:

(b)更大

解释：

(一)替代 $V = 972 \pi$ 在球的体积公式中:

$\frac{4}{3}\pi r^{3}= V$

$\frac{4}{3}\pi r^{3}= 972 \pi$

$\frac{4}{3}\pi r^{3} \div \frac{4}{3}\pi = 972 \pi \div \frac{4}{3}\pi$

$\frac{4}{3}\pi r^{3} \cdot \frac{3}{4\pi} = 972 \pi\cdot \frac{3}{4\pi}$

$r^{3} = 729$

$r =\sqrt[3]{ 729} = 9$ 英寸

(b)替代 $A = 400 \pi$ 在球面表面积公式中:

$4\pi r^{2}= A$

$4\pi r^{2}= 400 \pi$

$4\pi r^{2} \div 4\pi = 400 \pi \div 4\pi$

$r^{2} = 100$

$r = \sqrt{100} = 10$ 英寸

(b)更大。

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