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ISEE高级定量:如何找到一个锥体的体积

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例子问题

问题341:几何

圆锥B的高度是圆锥A的三倍，圆锥B底的半径是圆锥A底半径的二分之一。

哪个量更大?

(a)锥a的体积

(b)锥b的体积

可能的答案:

(b)更大。

从所提供的信息无法判断。

(a)和(b)相等。

(a)更大。

正确答案:

(a)更大。

解释：

让 r,h 分别为圆锥A的半径和高度。则圆锥B的半径和高度为 $\frac{1}{2}r$ 和,分别。

(a)锥a的体积为 $\frac{1}{3} \pi r^{2} h$ ．

(b)锥b的体积为

$\frac{1}{3} \pi \left ( \frac{1}{2} r\right ) ^{2} \cdot 3 h = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} \cdot 3\cdot \pi r ^{2} h= \frac{1}{4} r ^{2} h$ ．

自 $\frac{1}{4} r ^{2} h < \frac{1}{3} r ^{2} h$ (a)中的圆锥体体积更大。

报告错误

问题1:圆锥的体积

圆锥的高是其底半径的三倍，其体积为一立方码。给出它的半径，单位是英寸。

可能的答案:

$\frac{ 36 \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi}$

$\frac{ 12 \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi}$

$\frac{ \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi}$

$\frac{ 3 \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi}$

$\frac{ \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ 3 \pi}$

正确答案:

$\frac{ 36 \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi}$

解释：

具有基本半径的圆锥体的体积和高度是

$V =\frac{1}{3} \pi r^{2}h$

高度3乘以这个，还是．因此，公式变成

$V =\frac{1}{3} \pi r^{2} \cdot 3r$

$V = \pi r^{3}$

设这个体积等于1，然后解出：

$\pi r^{3} = 1$

$\pi r^{3} \div \pi = 1 \div \pi$

$r^{3}=\frac{ 1 }{ \pi}$

$r=\sqrt[3]{\frac{ 1 }{ \pi}} ={\frac{ \sqrt[3] {1} }{ \sqrt[3]{ \pi}}} ={\frac{ 1}{ \sqrt[3]{ \pi}}}={\frac{1 \cdot \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \sqrt[3]{ \pi} \cdot \sqrt[3]{ \pi^{2}}} ={\frac{ \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi}}$

这是半径，单位码;由于要求以英寸为单位的半径，因此乘以36。

$\frac{ \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi} \times 36 = \frac{ 36 \sqrt[3]{ \pi^{2} }}{ \pi}$

报告错误

问题3:如何计算圆锥体的体积

给定圆柱体的高度是给定圆锥高度的一半。它们底的半径是相等的。

以下哪个是更大的量?

(a)锥体的体积

(b)气缸的体积

可能的答案:

(b)是较大的量

不能确定(a)和(b)哪个更大

(a)和(b)相等

(a)是较大的量

正确答案:

(b)是较大的量

解释：

调用圆锥体底部的半径和圆锥的高度。圆柱体的底是半径和高度 $\frac{1}{2} H$ ．

在圆柱体积的公式中，设 r = R 和 $h = \frac{1}{2} H$ ：

$V = \pi r^{2}h$

$V = \pi R ^{2} \cdot \frac{1}{2}H = \frac{1}{2} \pi R ^{2}H$

在圆锥体积的公式中，设 r = R 和 h = H ：

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$V = \frac{1}{3} \pi R^{2}H$

$\frac{1}{2} > \frac{1}{3}$ ,所以

$\frac{1}{2} \pi R ^{2}H > \frac{1}{3} \pi R ^{2}H$ ，

也就是说圆柱的体积更大。

报告错误

问题341:几何

给定圆锥底的半径是给定圆柱底半径的三倍。圆锥体和圆柱体的高度相等。

以下哪个是更大的量?

(a)锥体的体积

(b)气缸的体积

可能的答案:

不能确定(a)和(b)哪个更大

(a)是较大的量

(b)是较大的量

(a)和(b)相等

正确答案:

(a)是较大的量

解释：

如果我们让是圆柱每个底的半径是圆锥体底的半径。我们可以让成为他们的共同高度。

在圆柱体积的公式中，设 r = R 和 h = H ：

$V = \pi r^{2}h$

$V = \pi R ^{2}H$

在圆锥体积的公式中，设 r = 3 R 和 h = H ：

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$V = \frac{1}{3} \pi (3R)^{2}H = \frac{1}{3} \pi (9R^{2})H = 3\pi R ^{2}H$

3 > 1 ,所以 $3\pi R ^{2}H > \pi R ^{2}H$ ．圆锥体的体积更大。

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