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高级数学:立体几何

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例子问题

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问题8:球体

你有一个木制的球，你要给它上色。如果半径是12英寸，球的体积是多少?

可能的答案:

2304 in^3

$576 \pi in^3$

$1728\pi in^3$

$2304\pi in^3$

正确答案:

$2304\pi in^3$

解释：

你有一个木制的球，你要给它上色。如果半径是12英寸，球的体积是多少?

好的，让我们从球体的体积公式开始

$V_{sphere}=\frac{4}{3}\pi r^3$

现在，代入12并简化:

$V_{sphere}=\frac{4}{3}\pi(12in)^3=\frac{4}{3}\pi*1728in^3=2304\pi in^3$

问题9:球体

求一个直径为6cm的球体的体积。

可能的答案:

$24\pi \text{ cm}^3$

$216\pi \text{ cm}^3$

$108\pi \text{ cm}^3$

$42\pi \text{ cm}^3$

$36\pi \text{ cm}^3$

正确答案:

$36\pi \text{ cm}^3$

解释：

为了求出球体的体积，我们将使用下面的公式:

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

在哪里r是球体的半径。

现在，我们知道球的直径是6cm。我们还知道直径是半径的2倍。因此，半径为3cm。

知道了这个，我们就可以代入公式。我们得到了

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (3\text{cm})^3$

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm} \cdot 3\text{cm}$

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27\text{cm}^3$

在继续之前，我们可以化简一下。3和27都能被3整除。我们得到了

$V = \frac{4}{1} \cdot \pi \cdot 9\text{cm}^3$

$V = 4 \cdot \pi \cdot 9\text{cm}^3$

$V = 36\pi \text{ cm}^3$

问题10:球体

求一个直径为12英寸的球体的体积。

可能的答案:

$256\pi \text{ in}^3$

$96\pi \text{ in}^3$

$288\pi \text{ in}^3$

$200\pi \text{ in}^3$

$144\pi \text{ in}^3$

正确答案:

$288\pi \text{ in}^3$

解释：

为了求出球体的体积，我们将使用下面的公式:

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot r^3$

在哪里r是球体的半径。

现在，我们知道球的直径是12in。我们还知道直径是半径的2倍。因此，半径是6in。

知道了这个，我们就可以代入公式。我们得到了

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (6\text{in})^3$

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 6\text{in} \cdot 6\text{in} \cdot 6\text{in}$

现在，我们可以先化简再乘，这样更简单。3和6都能被3整除。所以，我们得到

$V = \frac{4}{1} \cdot \pi \cdot 2\text{in} \cdot 6\text{in} \cdot 6\text{in}$

$V = 4 \cdot \pi \cdot 72\text{in}^3$

$V = 288\pi \text{ in}^3$

问题1:如何求出球体的体积

求一个直径为18英寸的球体的体积。

可能的答案:

$288\text{in}^3$

$108\text{in}^3$

$972\text{in}^3$

$324\text{in}^3$

$594\text{in}^3$

正确答案:

$972\text{in}^3$

解释：

为了求出球体的体积，我们将使用下面的公式:

$V = \frac{4}{3} \cdot r^3$

在哪里r是球体的半径。

现在，我们知道球的直径是18英寸。我们还知道直径是半径的2倍。因此，半径是9in。

知道了这个，我们就可以代入公式。我们得到了

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (9\text{in})^3$

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 9\text{in} \cdot 9\text{in} \cdot 9\text{in}$

现在，我们可以先化简再乘，这样更简单。3和9都能被3整除。所以，我们得到

$V = \frac{4}{1} \cdot \pi \cdot 3\text{in} \cdot 9\text{in} \cdot 9\text{in}$

$V = 4 \cdot \pi \cdot 243\text{in}^3$

$V = 972\pi \text{ in}^3$

问题2:如何求出球体的体积

求一个直径为6cm的球体的体积。

可能的答案:

$108\pi \text{ cm}^3$

$63\pi \text{ cm}^3$

$36\pi \text{ cm}^3$

$72\pi \text{ cm}^3$

$54\pi \text{ cm}^3$

正确答案:

$36\pi \text{ cm}^3$

解释：

为了求出球体的体积，我们将使用下面的公式

$V = \frac{4}{3} \pi r^3$

在哪里r是球体的半径。

现在，我们知道球的直径是6cm。我们还知道直径是半径的2倍。因此，半径为3cm。

所以，我们得到

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot (3\text{cm})^3$

$V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot 27\text{cm}^3$

$V = \frac{4}{3} \cdot \frac{27\text{cm}^3}{1} \cdot \pi$

$V = \frac{4}{1} \cdot \frac{9\text{cm}^3}{1} \cdot \pi$

$V = \frac{4 \cdot 9\text{cm}^3}{1 \cdot 1} \cdot \pi$

$V = \frac{36\text{cm}^3}{1} \cdot \pi$

$V = 36\pi \text{ cm}^3$

问题3:如何求出球体的体积

求半径为的球体的体积 $\frac{1}{4}$ ．

可能的答案:

$\frac{1}{48}\pi$

$\frac{1}{9}\pi$

$\frac{1}{24}\pi$

$\frac{1}{96}\pi$

$\frac{1}{72}\pi$

正确答案:

$\frac{1}{48}\pi$

解释：

写出计算球体体积的公式。

$V=\frac{4}{3}\pi r^3$

把半径代入公式。

$V=\frac{4}{3}\pi (\frac{1}{4})^3$

求方程的值。

$V=\frac{4}{3}\pi (\frac{1}{64}) = \frac{1}{3}\pi (\frac{1}{16}) = \frac{1}{48}\pi$

答案是: $\frac{1}{48}\pi$

问题1:如何求球面的表面积

就…而言 $\pi$ ，给出直径为36英寸的球形水箱的表面积，以平方英尺为单位。

可能的答案:

$36\pi \textrm{ ft}^{2}$

$9 \pi \textrm{ ft}^{2}$

$18 \pi \textrm{ ft}^{2}$

$3 \pi \textrm{ ft}^{2}$

$\frac{9}{2} \pi \textrm{ ft}^{2}$

正确答案:

$9 \pi \textrm{ ft}^{2}$

解释：

36英寸= $36 \div 12 = 3$ 英尺，水箱的直径。这个的一半，或者 $\frac{3}{2}$ 英尺，是半径。集 $r = \frac{3}{2}$ ，代入表面积公式，求解为：

$A =4\pi r^{2}$

$A =4\pi \cdot \left( \frac{3}{2} \right )^{2}$

$A =\frac{ 4}{1} \cdot \frac{3}{2}\cdot \frac{3}{2} \cdot \pi$

$A =\frac{ 1}{1} \cdot \frac{3}{1}\cdot \frac{3}{1} \cdot \pi$

$A =9 \pi$

问题2:如何求球面的表面积

给出一个直径为1的球体的表面积．

可能的答案:

$32 \pi$

$256 \pi$

$128 \pi$

$\frac{256}{3} \pi$

$64 \pi$

正确答案:

$64 \pi$

解释：

有直径的球体半径是它的一半吗，所以代入 r = 4 代入球体表面积的公式:

$A = 4 \pi r^{2} = 4 \pi \cdot 4^{2}= 64 \pi$

问题3:如何求球面的表面积

球形浮标的半径为5米。浮标的表面积是多少?

可能的答案:

100 m^2

50 m^2

$50\pi m^2$

$100\pi m^2$

正确答案:

$100\pi m^2$

解释：

球形浮标的半径为5米。浮标的表面积是多少?

要找到一个球体的表面积，使用以下方法:

$SA_{sphere}=4\pi r^2$

代入半径求解!

$SA_{sphere}=4\pi (5m)^2=100\pi m^2$

问题4:如何求球面的表面积

你有一个木制的球，你要给它上色。如果半径是12英寸，球的表面积是多少?

可能的答案:

$576\pi in^2$

提供的信息不够

$144 \pi in^2$

$192\pi in^2$

正确答案:

$576\pi in^2$

解释：

你有一个木制的球，你要给它上色。如果半径是12英寸，球的表面积是多少?

首先，回想一下球的表面积公式:

$SA_{sphere}=4 \pi r^2$

现在，只要代入已知的半径并化简:

$SA_{sphere}=4 \pi (12in)^2=576\pi in^2$

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