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中级几何:切线

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例子问题

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例子问题1:切线

给定函数 y=3x+10 ，求经过的切线的方程 x=2 ．

可能的答案:

$\textup{The equation does not exist.}$

y=3x

y=3x+6

y=3x+10

y=3x+16

正确答案:

y=3x+10

解释：

求斜率 y=3x+10 ．斜率是3。

替代 x=2 求y值。

y=3x+10=3(2)+10=16

重点是 (2,16) ．

用斜率-截距公式求出y轴截距，已知点和斜率。

y=mx+b

代入点和斜率。

16=3(2)+b

b=10

将y轴截距和斜率代回斜率-截距公式。

正确答案是: y=3x+10

报告错误

例子问题2:切线

求出这一点的切线方程 (2,4) 如果给定的函数是 2y=3x+4 ．

可能的答案:

$y=\frac{3}{2}x+4$

$y=\frac{3}{2}x+1$

y=3x+2

y=3x-2

y=3x+1

正确答案:

$y=\frac{3}{2}x+1$

解释：

写 2y=3x+4 斜率-截距式 y=mx+b 求出斜率。

将方程重新整理为斜截式，得到:

$y=\frac{3}{2}x+2$ ．

斜率是值是 $\frac{3}{2}$ ．

把斜率和点代入斜率-截距式。

y=mx+b

$4=\frac{3}{2}(2)+b$

b=1

代入斜率和y轴截距，得到最终方程。

$y=\frac{3}{2}x+1$

报告错误

例子问题1:切线

切线的方程是什么 x=0 这个方程 5y-3x+2=0 ?

可能的答案:

y=-3x-1

y=-3x+1

$y=\frac{3}{5}x-1$

y=-3x-2

$y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$

正确答案:

$y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$

解释：

重写 5y-3x+2=0 用斜截式求斜率。记住斜截式是 y=mx+b ．

因此，方程变成，

5y=3x-2

$y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$ ．

斜率是函数的值就是这样 $\frac{3}{5}$ ．

替代 x=0 回到原方程求的值．

5y-3(0)+2=0

5y+2=0

$y=-\frac{2}{5}$

替换点 $\left(0,-\frac{2}{5}\right)$ 把直线的斜率代入斜率-截距方程。

y=mx+b

$-\frac{2}{5}=\left(\frac{3}{5}\right)(0)+b$

$b=-\frac{2}{5}$

把点和斜率代回斜率-截距公式。

$y=\frac{3}{5}x-\frac{2}{5}$

报告错误

问题4:切线

写出圆的切线方程 x^2 + (y-3)^2 = 41 通过这个点 (4, -2) ．

可能的答案:

$y =- \frac{1}{4} x - 1$

$y = \frac{4}{5}x - \frac{26}{5 }$

y = 4x + 3

$y = \frac{4}{5} x + 3$

y = 4x - 18

正确答案:

$y = \frac{4}{5}x - \frac{26}{5 }$

解释：

圆的圆心是 (0,3) ．切线将垂直于经过这些点的直线 (0,3) 而且 (4, -2) ，所以知道这条直线的斜率是有帮助的:

$\frac{ \Delta y }{ \Delta x } = \frac{ 3 - - 2 }{ 0 - 4 } = \frac{ 5 }{ -4 }$

因为切线是垂直的，所以它的斜率是 $\frac{4}{5 }$

把方程写成这种形式 y = mx + b ，我们需要解出b，即y轴截距。我们可以代入m的斜率和点的坐标 (4, -2) 对于x和y:

$-2 = \frac{4}{5}(4) + b$

$-2 = \frac{16} { 5 } + b$

$-\frac{10}{5} = \frac{16} {5} + b$

$-\frac{26}{5} = b$

方程是 $y = \frac{4}{5} x - \frac{26} {5 }$

报告错误

例5:切线

求出切线的方程 (-3,8) 对于圆来说 (x+4)^2 + (y - 2 )^2 = 37 ．

可能的答案:

$y = -\frac{1}{6} x + 2\frac{2}{3}$

$y = -\frac{1}{6} x + 7\frac{1}{2 }$

$y = -\frac{7}{6}x + 4 \frac{1}{2}$

y = 6x + 10

$y = \frac{7}{6} x + 11 \frac{1}{2}$

正确答案:

$y = -\frac{1}{6} x + 2\frac{2}{3}$

解释：

圆的圆心是 (-4, 2) ．切线将垂直于经过这些点的直线 (-4,2) 而且 (-3, 8) ，所以知道这条直线的斜率是有帮助的:

$\frac{ \Delta y }{ \Delta x } = \frac{ 8-2 }{ -3+4 } = \frac{ 6 }{ 1 }$

因为切线是垂直的，所以它的斜率是 $-\frac{1}{6 }$

把方程写成这种形式 y = mx + b ，我们需要解出b，即y轴截距。我们可以代入m的斜率和点的坐标 (-3, 8 ) 对于x和y:

$8= -\frac{1}{6}(-3) + b$

$8 = \frac{1} { 2 } + b$

$7 \frac{1}{2} = b$

方程是 $y = -\frac{1}{6} x+7 \frac{1}{2}$

报告错误

例子问题1:切线

求圆的切线方程 (y+1)^2 + (x- 4 ) ^ 2 = 8 在这一点上 (-2, 3 ) ．

可能的答案:

$y = \frac{3}{2} x + 6$

$y = \frac{3}{2 } x - 2\frac{1}{2}$

$y = -\frac{2}{3} x - \frac{5}{3}$

$y = -\frac{2}{3} x + \frac{13}{3 }$

$y = -\frac{3}{2}x$

正确答案:

$y = \frac{3}{2} x + 6$

解释：

圆的圆心是 (4, -1) ．切线将垂直于经过这些点的直线 (4, -1 ) 而且 (-2,3) ，所以知道这条直线的斜率是有帮助的:

$\frac{ \Delta y }{ \Delta x } = \frac{-1 - 3 }{ 4 - - 2 } = \frac{-4}{6 } = -\frac{2}{3}$

因为切线是垂直的，所以它的斜率是 $\frac{3}{2 }$ ．

把方程写成这种形式 y = mx + b ，我们需要解出b，即y轴截距。我们可以代入m的斜率和点的坐标 (-2,3) 对于x和y:

$3= \frac{3}{2}(-2) + b$

3=-3 + b

6= b

方程是 $y = \frac{3}{2} x +6$

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示例问题7:切线

求圆的切线的方程 (y+ 2 )^2 + (x -3)^2 = 169 在这一点上 (15, 3 ) ．

可能的答案:

y = -18x + 273

$y = -\frac{12} {5 } x + \frac{26}{5 }$

y = -12x + 183

$y = -\frac{12}{5} x + 39$

y = -18x + 69

正确答案:

$y = -\frac{12}{5} x + 39$

解释：

圆的圆心是 (3, -2) ．切线将垂直于经过这些点的直线 (3, -2) 而且 (15,3) ，所以知道这条直线的斜率是有帮助的:

$\frac{ \Delta y }{ \Delta x } = \frac{ 3 --2 }{ 15 -3 } = \frac{ 5 }{ 12 }$

因为切线是垂直的，所以它的斜率是 $-\frac{12}{5 }$

把方程写成这种形式 y = mx + b ，我们需要解出b，即y轴截距。我们可以代入m的斜率和点的坐标 (15,3 ) 对于x和y:

$3 = -\frac{12}{5}(15) + b$

3 = -36+ b

39 = b

方程是 $y = - \frac{12}{5} x+39$

报告错误

例8:切线

参考上图，

求圆在图中所示点处的切线方程。

可能的答案:

$y = -\frac{9}{4}x+ 13$

$y = -\frac{4}{9} x+ \frac{97}{9}$

其他选项都没有给出正确的答案。

$y = \frac{9}{4}x$

$y = \frac{4}{9} x+ \frac{65}{9}$

正确答案:

$y = -\frac{4}{9} x+ \frac{97}{9}$

解释：

圆在某一点的切线垂直于以圆心和该点为端点的半径。

圆的圆心在原点 (0,0) ；因为这个 (4,9) 半径的端点-包含这个半径的直线包含这两个点-它的斜率可以通过设定求出来吗 $x_{1} = y_{1} = 0 , x_{2}= 4, y_{2} = 9$ 斜率公式如下:

$m = \frac{y_{2}-y_{1}}{x_{2}-x_{1}}$

$m = \frac{9-0}{4-0} = \frac{9 }{4 }$

切线，垂直于这个半径，它的斜率是这个的倒数的对边，也就是 $m = -\frac{4}{9}$ ．因为切线包含点 (4, 9) ,设置 $m = -\frac{4}{9}, x_{1} = 4, y_{1} = 9$ 在点斜式中，化简为:

$y - y_{1} = m (x-x_{1})$

$y - 9= -\frac{4}{9} (x-4)$

$y - 9= -\frac{4}{9} \cdot x- \left (-\frac{4}{9} \right ) \cdot 4$

$y - 9= -\frac{4}{9} x+ \frac{16}{9}$

$y - 9+ 9 = -\frac{4}{9} x+ \frac{16}{9} + 9$

$y = -\frac{4}{9} x+ \frac{16}{9} + \frac{81}{9}$

$y = -\frac{4}{9} x+ \frac{97}{9}$

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问题9:切线

一条直线与圆相切 $(x-4)^{2} + (y-2)^{2} = 100$ 在这一点上 (10,-6)

这条直线的方程是什么?

可能的答案:

其他答案都不正确。

$y=- \frac{3}{4}x+\frac{3}{2}$

$y= -\frac{4}{3}x+\frac{22}{3}$

$y= \frac{4}{3}x-\frac{58}{3}$

$y= \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}$

正确答案:

$y= \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}$

解释：

这个圆的中心是 (4,2)

因此，有端点的半径 (10,-6) 斜率

$\frac{2-(-6)}{4-10}= \frac{8}{-6}= -\frac{4}{3}$

切线在 (10,-6) 垂直于这个半径;因此，它的斜率是的倒数的对边 $-\frac{4}{3}$ ,或 $\frac{3}{4}$ ．

现在用这个斜率和切点的点斜公式:

$y-(-6)= \frac{3}{4} \left ( x-10\right )$

$y+6= \frac{3}{4}x-\frac{15}{2}$

$y= \frac{3}{4}x-\frac{27}{2}$

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例子问题1:如何求切线的斜率

图像的切线斜率是多少 y=x^2-6 当 x=3 ?

可能的答案:

正确答案:

解释：

为了求出切线的斜率，首先我们必须求导 x^2-6 ，让我们．接下来我们只需代入已知的x值，在这个例子中 x=3 ．剩下的斜率是．

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