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数学:用体积公式解决问题

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125练习题今日问题抽认卡概念学习

例子问题

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问题1:使用体积公式来解决问题

直径为的圆柱体的体积是多少厘米，高度为 15.5 厘米吗?

可能的答案:

$387.5 \pi$

$181.25\pi$

$155\pi$

$300\pi$

正确答案:

$387.5 \pi$

解释：

第一步:找出直径。

如果已知直径，半径的长度是直径的1 / 2。

所以半径是 $\dfrac {1}{2}\times 10=5$

第二步:回忆体积公式……

圆柱的体积公式为 $\pi r^2 h$ ．

$V=\pi (5)^2(15.5)\rightarrow \pi(25)(15.5)\implies 387.5 \pi$

问题1:金字塔

金字塔底部的面积和体积是多少 $12 \;\textup{m}^3$ 和高度 $1\;\textup{m}$ ？

可能的答案:

$32\;\textup{m}^2$

$36\;\textup{m}^2$

$23\;\textup{m}^2$

$19\;\textup{m}^2$

$42\;\textup{m}^2$

正确答案:

$36\;\textup{m}^2$

解释：

金字塔体积的公式是

$V = \frac{lwh}{3}$

金字塔的高度是 $1\;\textup{m}$ ,所以

h=1 ．

金字塔的体积是 $12 \;\textup{m}^3$ ．

因此,

$12=\frac{lw}{3}$

所以

$lw=12\times3=36$ ．

注意，金字塔底部的面积是

A = lw ．

因此,

A = lw = 36 ．

因此,

$A = 36 \;\textup{m}^2$

问题1:金字塔

金字塔的底部是方形的，它的圆锥体半径为24，高度为10。

给出金字塔的体积。

可能的答案:

7,680

$3,840\sqrt{2}$

3,840

$7,680\sqrt{2}$

其他选项都没有给出正确答案。

正确答案:

3,840

解释：

金字塔的体积与高度以面积为底可以用公式确定吗

$V = \frac{1}{3}Bh$ ．

金字塔的高度等于圆锥体的高度，所以我们可以设 h= 10 ．金字塔的底部是一个嵌在圆内的正方形，所以正方形的每条对角线的长度等于圆的直径。请看下图，它显示了金字塔和圆锥体的底部。

圆在方

圆的半径是24，所以它的直径和对角线的长度是这个的两倍，也就是48。

正方形的面积，也是菱形的面积等于对角线长度之积的一半，所以

$B = \frac{1}{2}d_{1}d_{2} = \frac{1}{2} (48) (48) = 1,152$

代替和，我们得到

$V = \frac{1}{3} (1,152)(10) = 3,840$ ．

问题1:金字塔

一个高为6的右金字塔的底部是一个边长为6的正六边形。

给出它的音量。

可能的答案:

108

$108 \sqrt{2}$

$54 \sqrt{3}$

$108 \sqrt{3}$

$54 \sqrt{2}$

正确答案:

$108 \sqrt{3}$

解释：

正六边形的底面可以按其直径分成六个等边三角形，如下图所示:

六角1

每个三角形的边长都是六边形的边长。如果我们让这个公共边长是，每个三角形都有面积

$A = \frac{s^{2}\sqrt{3}}{4}$ ;

底的总面积是这个的6倍。

用6代替，则每个三角形的面积为

$A = \frac{6^{2}\sqrt{3}}{4} = \frac{36\sqrt{3}}{4} = 9 \sqrt{3}$

底的总面积是这个的6倍，或者

$B = 6 A =6 \cdot 9 \sqrt{3} = 54 \sqrt{3}$

金字塔的体积与高度以面积为底可以用公式确定吗

$V = \frac{1}{3}Bh$ ．

集 $B = 54 \sqrt{3}$ 和 h = 6 ;

$V = \frac{1}{3} (54\sqrt{3}) (6) = 108 \sqrt{3}$

问题1:金字塔

直角棱锥和直角棱柱的底都是方形的。金字塔底部的边长比棱镜底部的边长20%;金字塔的高度比棱镜的高度高20%。

下面哪个选项最接近正确?

可能的答案:

金字塔的体积比棱镜的体积小33.3%。

金字塔的体积比棱镜的体积小74.4%。

金字塔的体积比棱镜的体积小61.6%。

金字塔的体积比棱镜的体积小42.4%。

金字塔的体积比棱镜的体积小82.9%。

正确答案:

金字塔的体积比棱镜的体积小42.4%。

解释：

右棱镜的体积与高度面积的底数可以用公式确定吗

V = Bh ．

因为它的底是正方形，如果我们让那就等于一条边的长度 $B = s^{2}$ ,

$V =s^{2}h$

右金字塔的体积与高度以面积为底可以用公式确定吗

$V '=\frac{1}{3} B'h'$ ．

因为它的底也是一个正方形，如果我们让那就等于一条边的长度 $B' = s'^{2}$ ,

$V '=\frac{1}{3} s'^{2}h'$ ．

金字塔的高度是棱镜高度的20%这是,所以 h'= 1.2h ．同样，金字塔底边的长度比棱镜底边的长度大20%，所以 s' = 1.2s ．代入金字塔体积公式:

$V '=\frac{1}{3} (1.2s )^{2} \cdot 1.2h$

$=\frac{1}{3} \cdot 1.2^{2} \cdot s ^{2} \cdot 1.2h$

$=\frac{1}{3} \cdot 1.44 \cdot 1.2 \cdot s ^{2} h$

$=0.576 s ^{2} h$

我们可以代入，棱镜的体积，为 $s^{2}h$ ．这个收益率

V'=0.576 V

金字塔的体积等于棱柱体积的57.6%，也就是说， $(100 - 57.6) \% = 42.4 \%$ 更少。

问题1:使用体积公式来解决问题

坐标空间中的三角形金字塔的顶点都在原点， (c,0,0) ， (0,c,0) , (0,0,c) ．就…而言，给出它的体积。

可能的答案:

$\frac{1}{4}c^{3}$

$\frac{1}{6}c^{3}$

$\frac{1}{9}c^{3}$

$\frac{1}{8}c^{3}$

$\frac{1}{12}c^{3}$

正确答案:

$\frac{1}{6}c^{3}$

解释：

所讨论的金字塔可以在下图中看到:

金字塔1

这个金字塔的底部是三角形-原点有顶点的平面， (c,0,0) , (0,c,0) ;这是一个有两条腿的直角三角形所以它的面积是它们乘积的一半，或者 $B = \frac{1}{2}c^{2}$ ．

高度(垂直于底)是从原点到 (0,0,c) ，它有长度(金字塔的高度) h = c ．

设置 $B = \frac{1}{2}c^{2}$ 和 h = c 在金字塔体积的公式中:

$V = \frac{1}{3} Bh$

$V = \frac{1}{3}\cdot \frac{1}{2}c^{2} \cdot c= \frac{1}{6}c^{3}$ ，正确的回应。

问题1:视锥细胞

关于-轴，旋转三角形的顶点为 (5, 0) ， (0, 6 ) ，以及原点。形成的旋转固体的体积是多少?

可能的答案:

$55 \pi$

$66 \pi$

$50 \pi$

其他选项都没有给出正确答案。

$60 \pi$

正确答案:

$50 \pi$

解释：

当这个三角形旋转-轴，所得到的旋转实体是一个底部有半径的锥体 r= 5 ，它有高度 h= 6 ．将这些值代入计算圆锥体积的公式:

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$= \frac{1}{3} \pi (5^{2}) (6)$

$= 25 \cdot 6 \cdot \frac{1}{3} \pi$

$= 50 \pi$

问题1:使用体积公式来解决问题

关于x-轴，旋转三角形的顶点为 (5, 0) ， (0, 6 ) ，以及原点。形成的旋转固体的体积是多少?

可能的答案:

$55 \pi$

$50 \pi$

$66 \pi$

$60 \pi$

其他选项都没有给出正确答案。

正确答案:

$60 \pi$

解释：

当这个三角形旋转-轴，所得到的旋转实体是一个底部有半径的锥体 r= 6 ，它有高度 h= 5 ．将这些值代入计算圆锥体积的公式:

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

$= \frac{1}{3} \pi (6)^{2}(5)$

$= 36 \cdot 5 \cdot \frac{1}{3} \pi$

$=60 \pi$

问题1:使用体积公式来解决问题

正方形金字塔的高为10，底周长为36。

在这个金字塔内刻一个右锥体。它的体积是多少?

可能的答案:

$\frac{405}{2} \pi$

$90 \pi$

$30 \pi$

$\frac{135}{2} \pi$

其他选项都没有给出正确答案。

正确答案:

$\frac{135}{2} \pi$

解释：

正方形一条边的长度是它周长的四分之一，或者 $36 \div 4 = 9$ ．这个金字塔里面的圆锥体有同样的高度。它的底部是正方形内的圆。这个圆的直径是正方形一条边的长度，也就是9，它的半径是这个的一半，也就是 $9 \div 2 = \frac{9}{2}$ ．

给定半径的圆锥的体积和高度，可用公式计算

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

集 $r = \frac{9}{2}$ 和 h = 10 ：

$V = \frac{1}{3} \pi \left ( \frac{9}{2} \right )^{2} 10$

$= \frac{1}{3} \left ( \frac{81}{4} \right ) 10 \pi$

$= \frac{135}{2} \pi$

问题1:视锥细胞

正方形金字塔的高为10，底面积为36。

在这个金字塔内刻一个右锥体。它的体积是多少?

可能的答案:

$\frac{405}{2} \pi$

$90 \pi$

其他选项都没有给出正确答案。

$\frac{135}{2} \pi$

$30 \pi$

正确答案:

$30 \pi$

解释：

正方形一边的长度是面积的平方根，或者 $\sqrt{36} = 6$ ．金字塔内的圆锥体将以正方形内的圆为底。这个圆的直径是正方形一条边的长度，也就是6，它的半径是正方形的一半，也就是3。

给定半径的圆锥的体积和高度，可用公式计算

$V = \frac{1}{3} \pi r^{2}h$

集 r = 3 和 h = 10 ：

$V = \frac{1}{3} \pi \left (3 \right )^{2} 10$

$= \frac{1}{3} \left ( 9 \right ) 10 \pi$

$=30 \pi$

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