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HiSET:数学:在建模的情况下应用密度的概念

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例子问题

例子问题1:在建模中应用密度的概念

农民必须做一个方形的猪圈来养鸡。如果每只鸡都有 $1 \;\textup{m}^2$ 的区域漫游和有鸡总数，围栏的长度是多少，需要把鸡圈进去?

可能的答案:

$83\;\textup{m}$

$20\;\textup{m}$

$75 \;\textup{m}$

$50 \;\textup{m}$

$25 \;\textup{m}$

正确答案:

$20\;\textup{m}$

解释：

正方形有面积公式

A = l^2

养鸡所需的总面积将是

$25 \;\textup{m}^2$

因为每只鸡都需要 $1\;\textup{m}^2$ 空间的存在鸡。

因此,我们有

25 = l^2

我们的养鸡栅栏的长度。

$\sqrt{25}=\sqrt{l^2}^$

l = 5

因为正方形有四条边，每条边的长度是5，所以篱笆的总长度为

$5\times4 = 20\;\textup{m}$ ．

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例子问题1:在建模中应用密度的概念

人口普查

资料来源:美国人口普查局

一个地理区域的平均人口密度被定义为每平方英里的平均居民人数。

上面是五个州的土地面积和人口的表格。这五个州中哪个州的人口密度最大?

可能的答案:

密西西比州

田纳西州

肯塔基州

阿肯色州

阿拉巴马州

正确答案:

田纳西州

解释：

对于每个州，用人口除以土地面积。为了简单起见，我们可以把每个数字四舍五入到最接近的整数。

阿拉巴马州:

$4,860,000 \div 50,645 \approx 96$ 每平方英里的人口。

阿肯色:

$2,980,000 \div 52,035 \approx 57$ 每平方英里的人口。

肯塔基州:

$4,430,000 \div 39,486 \approx 112$ 每平方英里的人口。

密西西比州:

$2,990,000 \div 46,923 \approx 64$ 每平方英里的人口。

田纳西州:

$6,600,000 \div 41,235 \approx 160$ 每平方英里的人口。

田纳西州的人口密度在五个州中最高。

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例子问题1:在建模中应用密度的概念

人口普查

资料来源:美国人口普查局

一个地理区域的平均人口密度被定义为每平方英里的平均居民人数。

上图是五个邦的人口密度和土地面积的图表。在这五个州中，哪个州的人口最多?

可能的答案:

怀俄明

佛蒙特州

南达科塔州

阿拉斯加

北达科他

正确答案:

南达科塔州

解释：

将每个州的人口密度乘以相应的面积，可以得到人口的估计值(为了简单起见，四舍五入到最近的千):

阿拉斯加:

$1.3 \times 570,641 \approx 742,000$

北达科他州:

$11.0 \times 69,001 \approx 759,000$

南达科塔州:

$11.1 \times 75,811 \approx 842,000$

佛蒙特州:

$67.9 \times 9,217 \approx 626,000$

怀俄明州:

$6.0 \times 97,093 \approx 583,000$

在这五个州中，南达科他州是人口最多的。

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问题181:高中等价测试:数学

一个地理区域的平均人口密度被定义为每平方英里的平均居民人数。

上图是一个人口约12万的县的地图。下列哪项是对平均人口密度的最佳估计?

可能的答案:

每平方英里200人

每平方英里50人

每平方英里250人

每平方英里150人

每平方英里100人

正确答案:

每平方英里100人

解释：

这个县是一个梯形的形状和长度的基数 B = 44 而且 b= 33 ，随着高度 h = 30 ．它的面积单位是平方英里，可以用梯形面积的公式代入:

$A = \frac{1}{2} (B+b)h$

$A = \frac{1}{2} (44+33) (30)$

$A = \frac{1}{2} (77) (30)$

A = 1,155 平方英里

人口除以这个面积，可以得到人口密度的估计值:

$120,000\div 1,155 \approx 44.8 \approx 103.9$ 每平方英里的人口。

在给定的选项中，每平方英里100人最接近。

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例子问题1:体积

下图显示了一个游泳池的蓝图。

游泳池的维度

如果这个池子有66英寸深，它能容纳多少立方英尺的水?(1英尺= 12英寸)

可能的答案:

$6600\,ft^3$

$220\,ft^3$

$2400\,ft^3$

$1200\,ft^3$

$13,200\,ft^3$

正确答案:

$6600\,ft^3$

解释：

请注意，蓝图的外部尺寸是整个游泳池的尺寸，包括混凝土，而内部尺寸是游泳池的一部分将被填满水。因此，我们只想关注内部维度。

注意，深度的单位是英寸，而尺寸的单位是英尺。66除以12将66英寸换算成英尺，因为12英寸等于1英尺:

$66\;in\cdot\frac{1 ft}{12 in}=5.5 ft$

英寸单位约掉了，只剩下英尺单位。66英寸5.5英尺。

现在我们有了求解池体积所需的所有信息。池是一个矩形棱镜，矩形棱镜的体积公式为

$length\cdot width\cdot height$

(在这种情况下，游泳池的“高度”就是它的深度。)

蓝图显示，泳池长40英尺，宽30英尺。代入问题中的测量值，我们得到

$40\,ft\cdot30\,ft\cdot5.5\,ft$

把这个乘出来，就得到 $6,600\,ft^3$ ．

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