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数学:从图表中估计变化率

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例子问题

问题1:从图中估计变化率

估计斜率

函数图如上所示，曲线上两点的坐标。用给出的坐标来近似计算两点间函数的变化率。

可能的答案:

$\frac{7}{11}$

$\frac{3}{5}$

$-\frac{3}{5}$

$\frac{5}{3}$

$-\frac{11}{7}$

正确答案:

$\frac{3}{5}$

解释：

曲线上两点之间的变化率可以通过计算两点之间的变化率来近似求得。

让 (x_1,y_1) 是第一个点的坐标 (x_2,y_2) 是第二个点的坐标。则给出近似变化率的公式为:

$\frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1}$

注意分子是总的变化量y，分母是总的变化量x。

问题的计算过程如下:

让 (3,2) 做第一个点 (8,5) 是第二点。代入这些坐标的值:

$\frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \rightarrow \frac {5-2}{8-3}$

相减得到最后的答案:

$\frac{3}{5}$

请注意，你将哪个点赋值为第一个点，哪个点赋值为第二个点并不重要，因为由于负号抵消，它将导致相同的值。

问题2:从图中估计变化率

上面是一个函数的图形。估计的变化率在间隔上 [-2, -1.5]

可能的答案:

正确答案:

解释：

函数的变化率在间隔上 [a, b] 等于

$r = \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$ 。

集 a = -2, b = -1.5 。如下图所示:

图形穿过 (-2, 2) 和 (-1.5, 5) 。

f(-2) = 2 , f(-1.5)= 5 。因此,

$r = \frac{f(-1.5)-f(-2)}{-1.5 - (-2)} = \frac{5-2}{0.5} = \frac{3}{0.5} = 6$ ，

正确的回应。

问题3:从图中估计变化率

上面是一个函数的图形，它是有定义且连续的 $(-\infty, \infty)$ 。的平均变化率在间隔上 [1, 5] 是4。估计 f(5) 。

可能的答案:

正确答案:

解释：

函数的变化率在间隔上 [a, b] 等于

$r = \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$ 。

集 a = 1, b = 5, r =4 。请看下图:

曲线图经过该点 (1, 2) ,所以 f(1) = 2 。因此,

$4 = \frac{f(5)-f(1)}{5-1}$

用,

$4 = \frac{f(5)-2}{4}$

解出 f(5) 使用代数:

$\frac{f(5)-2}{4} \cdot 4 = 4 \cdot 4$

f(5)-2 =16

f(5)-2+ 2 =16 + 2

f(5)= 18 ，

正确的回应。

问题4:从图中估计变化率

上面是一个函数的图形。的平均变化率在区间内 (0, c) 是 $-\frac{4}{5}$ 。这些值中哪一个最接近于的可能值？

可能的答案:

正确答案:

解释：

函数的平均变化率在间隔上 (a, b) 等于

$r = \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$ 。

重申一下，它是经过的直线的斜率 (a, f(a)) 和 (b, f(b)) 。

找到正确的值这就回答了这个问题，检验有斜率的直线就足够了 $-\frac{4}{5}$ 通过 (0, f(0)) 在给定的点中找出离直线最近的点。这条线每5个水平单位下降4个单位，所以这条线看起来是这样的:

的交点的坐标比其他四个选项中的任何一个值更接近2。这使2成为正确的选择。

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