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数学:函数的变化率

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例子问题

例子问题1:函数的变化率

下表给出的直线的斜率是多少?

$\begin{tabular}{ | c | c |} \hline x & y \\ \hline 0 & 2 \\ \hline 1 & 3 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline \end{tabular}$

可能的答案:

$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{2}$

$-\frac{1}{3}$

正确答案:

解释:

给定两个点

$(x_{0},y_{0})$ 而且 $(x_{1},y_{1})$

斜率的公式是

$m=\frac{y_{1}-y_{0}}{x_{1}-x_{0}}$ ．

因此，既然我们给定的表是

$\begin{tabular}{ | c | c |} \hline x & y \\ \hline 0 & 2 \\ \hline 1 & 3 \\ \hline 2 & 4 \\ \hline \end{tabular}$

我们选择两个点

(0,2) 而且 (1,3)

用斜率公式来计算斜率。

因此,

$m = \frac{3-2}{1-0}=\frac{1}{1} = 1$ ．

因此，由表格生成的直线的斜率为

m=1 ．

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例子问题1:函数的变化率

定义 $f(x) = x^{2}+ x$ ．

的平均变化率在时间间隔 [2,3] ．

可能的答案:

3.6

7.2

正确答案:

解释:

函数的平均变化率在一个时间间隔 [a, b] 等于

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

设置 a = 2, b= 3 ,这是

$\frac{f(3)-f(2)}{3-2} = \frac{f(3)-f(2)}{1} = f(3)-f(2)$

评估 f(3) 而且 f(2) 替换:

$f(x) = x^{2}+ x$

$f(3) = 3^{2}+ 3= 9+ 3 = 12$

$f(2) = 2^{2}+ 2 = 4+ 2 = 6$

$\frac{f(3)-f(2)}{3-2} = 12 - 6 = 6$ ，

正确的响应。

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例子问题1:函数的变化率

定义 $f(x) = \left\{\begin{matrix} x^{2}+x ,&x \le 0 \\ x^{2}-x, & x> 0\end{matrix}\right.$ ．

的平均变化率在时间间隔 [-1, 1] ．

可能的答案:

$-\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

正确答案:

解释:

函数的平均变化率在一个时间间隔 [a, b] 等于

$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$

设置 a = -1, b= 1 ,这是

$\frac{f(1)-f(-1)}{1-(-1)} = \frac{f(1)-f(-1)}{2}$

评估 f(1) 使用的定义为 x>0 :

$f(x) = x^{2}-x$

$f(1) = 1^{2}-1 = 1 - 1 = 0$

评估 f(-1) 使用的定义为 $x\le 0$ :

$f(x) = x^{2}+x$

$f(-1) = (-)1^{2}+ (-1) = 1 - 1 = 0$

因此，平均变化率为

$\frac{f(1)-f(-1)}{2} = \frac{0-0}{2} = 0$ ．

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例子问题1:函数的变化率

估计斜率

上面给出了一个函数的图形，曲线上两点的坐标如图所示。用所给的坐标来近似计算函数在两点之间的变化率。

可能的答案:

$\frac{3}{5}$

$\frac{5}{3}$

$\frac{7}{11}$

$-\frac{11}{7}$

$-\frac{3}{5}$

正确答案:

$\frac{3}{5}$

解释:

曲线上两点之间的变化率可以通过计算两点之间的变化率来近似计算。

让 (x_1,y_1) 是第一个点和的坐标 (x_2,y_2) 就是第二个点的坐标。那么给出近似变化率的公式为:

$\frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1}$

注意分子是总的变化y，分母为的总体变化量x．

该问题的计算如下:

让 (3,2) 是第一点和 (8,5) 做第二点。代入这些坐标中的值:

$\frac{y_2 - y_1} {x_2 - x_1} \rightarrow \frac {5-2}{8-3}$

减去得到最终答案:

$\frac{3}{5}$

请注意，将哪一个点指定为第一个点和将哪一个点指定为第二个点并不重要，因为由于负数抵消，它们将得到相同的值。

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例子问题1:从图中估计变化率

上图是一个函数的图形．的变化率的时间间隔 [-2, -1.5]

可能的答案:

正确答案:

解释:

函数的变化率的时间间隔 [a, b] 等于

$r = \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$ ．

集 a = -2, b = -1.5 ．参考下面的函数图:

图像穿过 (-2, 2) 而且 (-1.5, 5) ．

f(-2) = 2 , f(-1.5)= 5 ．因此,

$r = \frac{f(-1.5)-f(-2)}{-1.5 - (-2)} = \frac{5-2}{0.5} = \frac{3}{0.5} = 6$ ，

正确的响应。

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例子问题1:从图中估计变化率

上图是一个函数的图形，它是有定义的，并且是连续的 $(-\infty, \infty)$ ．的平均变化率的时间间隔 [1, 5] 是4。估计 f(5) ．

可能的答案:

正确答案:

解释:

函数的变化率的时间间隔 [a, b] 等于

$r = \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$ ．

集 a = 1, b = 5, r =4 ．查看下图:

图像经过该点 (1, 2) ,所以 f(1) = 2 ．因此,

$4 = \frac{f(5)-f(1)}{5-1}$

用,

$4 = \frac{f(5)-2}{4}$

解出 f(5) 使用代数:

$\frac{f(5)-2}{4} \cdot 4 = 4 \cdot 4$

f(5)-2 =16

f(5)-2+ 2 =16 + 2

f(5)= 18 ，

正确的响应。

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例子问题1:从图中估计变化率

上图是一个函数的图形．的平均变化率在时间间隔 (0, c) 是 $-\frac{4}{5}$ ．哪个值最接近于的可能值?

可能的答案:

正确答案:

解释:

函数的平均变化率的时间间隔 (a, b) 等于

$r = \frac{f(b)-f(a)}{b - a}$ ．

重申一下，它是经过的直线的斜率 (a, f(a)) 而且 (b, f(b)) ．

的正确值这就回答了这个问题，它足以检验有斜率的直线 $-\frac{4}{5}$ 通过 (0, f(0)) 在已知的点中找出最接近直线的点。这条线每下降5个水平单位就下降4个单位，所以这条线看起来是这样的:

的交点的-坐标比其他四个选项中的任何值都更接近2。这是正确的选择。

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