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高中数学:余弦定律

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例子问题

例子问题1:余弦定理的应用

在 $\Delta ABC$ ， AB = 26 ， BC = 32 , AC = 23 ．精确到十分之一 $m \angle A$ ?

可能的答案:

$98.7^{ \circ }$

$81.3 ^{\circ }\textrm{ or } 98.7^{ \circ }$

$171.3^{ \circ }$

$81.3 ^{\circ }$

有这些边长的三角形是不存在的。

正确答案:

$81.3 ^{\circ }$

解释：

根据三角形不等式，这个三角形可以存在，因为 23 + 26 > 32 ．

根据余弦定理

$\left ( BC\right )^{2} = \left ( AB\right )^{2} + \left ( AC\right )^{2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos m \angle A$

代入边长并解出 $\cos m \angle A$ ：

$32^{2} = 26^{2} + 23^{2} - 2\cdot 26 \cdot 23 \cdot \cos m \angle A$

$1,024 =676 + 529 - 1,196 \cdot \cos m \angle A$

$1,024 =1,205 - 1,196 \cdot \cos m \angle A$

$-181 = - 1,196 \cdot \cos m \angle A$

$\cos m \angle A = 181 \div 1,196 \approx 0.1513$

$m \angle A \approx \cos^{-1} 0.1513 \approx 81.3 ^{\circ }$

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示例问题11:三角函数的图与逆

三角形的边长为12、17和22。三个内角的度数中，哪一个最大?

可能的答案:

$119.2^{\circ }$

$93.6^{\circ }$

$130.1^{\circ }$

$97.2^{\circ }$

$86.4^{\circ }$

正确答案:

$97.2^{\circ }$

解释：

我们可以用余弦定理求出这个角的度数，我们称之为:

$c^{2} = a^{2} + b^{2} -2ab \cos C$

最宽的角将对着长度为22的边，因此我们将设置:

c=22 ， a=12 ， b=17

$22^{2} = 12^{2} + 17^{2} -2\cdot 12\cdot 17 \cos C$

$484 = 144 + 289 -408 \cos C$

$51= -408 \cos C$

$\cos C = -\frac{51}{408} = -0.125$

$C = \cos^{-1} 0.125 = 97.2^{\circ }$

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示例问题3:余弦定理的应用

在 $\Delta ABC$ ， $m \angle A = 66^{\circ }$ ， AB = 26 , AC = 23 ．精确到十分之一?

可能的答案:

具有这些特征的三角关系是不可能存在的。

112.4

47.9

41.1

26.8

正确答案:

26.8

解释：

根据余弦定理

$\left ( BC\right )^{2} = \left ( AB\right )^{2} + \left ( AC\right )^{2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos m \angle A$

或者,同样,

$BC =\sqrt{ \left ( AB\right )^{2} + \left ( AC\right )^{2} - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos m \angle A}$

替代:

$BC =\sqrt{ 26^{2} +23^{2} - 2 \cdot 26 \cdot 23 \cdot \cos 66 ^{\circ }}$

$\approx \sqrt{ 676 +529 - 1,196 \cdot 0.4067}$

$\approx \sqrt{ 718.6} \approx 26.8$

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佛罗里达大学，文学学士，历史。多伦多大学，文学硕士，中世纪和文艺复兴研究。

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