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高中数学:解三角方程

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例子问题

问题1:三角方程

如果 $tanx=\frac{1}{3}$ ,找 $f(x)=\frac{sin(3\pi +x)+sin(x-\frac{\pi }{2})}{cos(x-\pi )+cos(\frac{3\pi }{2}+x)}$ ．

可能的答案:

正确答案:

解释：

首先，我们需要简化每一项:

$sin(3\pi +x)= -sinx$

$sin(x-\frac{\pi }{2})=cosx$

$cos(x-\pi )=- cosx$

$cos(\frac{3\pi }{2}+x)=sinx$

所以我们有:

$f(x)=\frac{-sinx-cosx}{-cosx+sinx}$

因为我们有的值 tanx ，分子分母同时除以 cosx ．

$f(x)=\frac{-\frac{sinx}{cosx}-\frac{cosx}{cosx}}{\frac{-cosx}{cosx}+\frac{sinx}{cosx}}=\frac{-tanx-1}{-1+tanx} = \frac{1+tanx}{1-tanx}$

我们可以代入的值 tanx 在得到的函数中。

$f(x)=\frac{1+\frac{1}{3}}{1-\frac{1}{3}}=\frac{\frac{4}{3}}{\frac{2}{3}}=2$

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问题2:三角方程

直角三角形的角是 $41^\circ$ ．如果对边的长度是斜边是多少?

可能的答案:

10.6

6.04

9.2

5.25

12.19

正确答案:

12.19

解释：

对于这个问题，我们将使用正弦函数作为 $\sin=\frac{O}{H}$ ．

代入我们已知的信息:

$\sin(41^\circ)=\frac{8}{H}$

$H=\frac{8}{\sin(41^\circ)}$

H=12.19

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问题1:三角方程

直角三角形的角是 $72^\circ$ ．如果它的邻边长度是斜边是多少?

可能的答案:

11.56

3.57

35.6

10.46

3.4

正确答案:

35.6

解释：

对于这个问题，我们将使用余弦函数 $\cos=\frac{A}{H}$ ．

代入我们已知的信息:

$\cos(72^\circ)=\frac{11}{H}$

$H=\frac{11}{\cos(72^\circ)}$

H=35.6

报告错误

问题4:三角方程

在直角三角形中，如果

$cos(x)=\frac{3}{5}$

和

$cos(y)=\frac{4}{5}$

那是什么 $\tan(x)$ 等于多少?

可能的答案:

$\frac{5}{4}$

$\frac{3}{5}$

$\frac{3}{4}$

$\frac{4}{3}$

正确答案:

$\frac{4}{3}$

解释：

我们可以画一个锐角直角三角形 $\angle x$ 和 $\angle y$ ．的邻边 $\angle y$ 是4，邻边是 $\angle x$ 是3。

$tan(x)=\frac{opposite}{adjacent}$

报告错误

问题1:解三角方程

如果 $sinx-cosx=\frac{1}{3}$ ，求函数的值 $f(x)=sin^{3}x+cos^{3}x$ ．

可能的答案:

$-\frac{13}{27}$

$-\frac{11}{27}$

$\frac{13}{27}$

$\frac{11}{27}$

正确答案:

$\frac{13}{27}$

解释：

我们可以这样写:

$sinx-cosx=\frac{1}{3}$

$\Rightarrow (sinx-cosx)^{2}=\frac{1}{9}$

$\Rightarrow sin^2x+cos^2x-2sinxcosx=\frac{1}{9}$

$\Rightarrow 2sinxcosx=1-\frac{1}{9}$

$\Rightarrow sinxcosx=\frac{4}{9}$

我们也可以这样写:

(sinx-cosx)^3=sin^3x+cos^3x+3sinxcos^2x-3cosxsin^2x

$\Rightarrow sin^3x+cos^3x=(sinx-cosx)^3+3sinxcosx(sinx-cosx)$

现在我们可以把(sinx - cosx)和(sinx * cosx)的值代入得到的函数:

$\Rightarrow sin^3x+cos^3x=(\frac{1}{3})^3+3*\frac{4}{9}*\frac{1}{3}=\frac{1}{27}+\frac{4}{9}=\frac{13}{27}$

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