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《高中数学:理性表达

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例子问题

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例子问题1:理性的表达式

解决:

如果成正比, x=7 当 y=21 ,找当 y=-5 ．

可能的答案:

$x=\frac{-11}{3}$

$x=\frac{-1}{3}$

$x=\frac{-7}{3}$

$x=\frac{-13}{3}$

$x=\frac{-5}{3}$

正确答案:

$x=\frac{-5}{3}$

解释：

直接变化的公式为:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}$

代入我们的值，我们得到:

$\frac{7}{x}=\frac{21}{-5}$

21x=-35

$x= \frac{-5}{3}$

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例子问题2:理解理性的表达式

如果两个盒子的深度和容量相同，那么它的长度与宽度成反比。一个盒子 $60\ cm$ 长, $40\ cm$ 宽。第二个盒子(同样的深度和容量)是 $5\ cm$ 长。它有多宽?

可能的答案:

$480\ cm$

$460\ cm$

$450\ cm$

$470\ cm$

$490\ cm$

正确答案:

$480\ cm$

解释：

间接变量的公式为:

$\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_2}{y_1}$

代入我们的值，我们得到:

$\frac{60\ cm}{5\ cm}=\frac{y}{40\ cm}$

$5y=2400\ cm$

$y=480\ cm$

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例子问题1:加减理性表达式

简化 $\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-5}{x+3}$

可能的答案:

$\frac{3x^{2}-x+7}{x^{2}+2x+2}$

$\frac{3x^{2}+5x-6}{x^{2}-3x+2}$

$\frac{2x^{2}-5x+6}{x^{2}-2x+3}$

$\frac{4x^{2}-3x+5}{x^{2}+3x-2}$

$\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

正确答案:

$\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

解释：

这是一个更复杂的形式 $\frac{1}{2}+\frac{1}{3}= \frac{3}{6}+\frac{2}{6}=\frac{5}{6}$

找出最小公分母(LCD)并将每个分数转换为LCD，然后将分子相加。根据需要简化。

$\frac{x+2}{x-1}+\frac{x-5}{x+3}=\frac{x+2}{x-1}\cdot \frac{x+3}{x+3}+\frac{x-5}{x+3}\cdot \frac{x-1}{x-1}$

这相当于 $\frac{(x+2)\cdot (x+3)+(x-5)\cdot (x-1)}{(x+3)\cdot (x-1)}$

简化得到 $\frac{2x^{2}-x+11}{x^{2}+2x-3}$

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例子问题1:理性的表达式

将下列理性表达式进行划分和简化:

$\frac{x^2+7x+10}{x+2}\div \frac{x^2+2x-15}{x^2-5x+6}$

可能的答案:

x-2

x+1

x+2

x-1

x-3

正确答案:

x-2

解释：

乘以第二个表达式的倒数:

$\frac{x^2+7x+10}{x+2}\div \frac{x^2+2x-15}{x^2-5x+6}$

$\frac{x^2+7x+10}{x+2}\cdot \frac{x^2-5x+6}{x^2+2x-15}$

因子的表达式:

$\frac{(x+5)(x+2)}{x+2}\cdot \frac{(x-3)(x-2)}{(x-3)(x+5)}$

删除常用术语:

$\frac{\mathbf{(x+5)(x+2)}}{\mathbf{x+2}}\cdot \frac{\mathbf{(x-3)}(x-2)}{\mathbf{(x-3)(x+5)}}$

x-2

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例子问题2:合理简化表达式

添加并简化以下有理表达式:

$3n+1+\frac{1}{3n-1}$

可能的答案:

$\frac{6n^2}{2n-1}$

$\frac{6n^2}{3n-1}$

$\frac{9n^2}{3n-1}$

$\frac{3n^2}{3n-1}$

$\frac{3n^2}{2n-1}$

正确答案:

$\frac{9n^2}{3n-1}$

解释：

从左项乘以开始 $\frac{3n-1}{3n-1}$ ：

$3n+1+\frac{1}{3n-1}$

$3n+1 (\frac{3n-1}{3n-1})+\frac{1}{3n-1}$

简化:

$\frac{(3n+1)(3n-1)+1}{3n-1}$

$\frac{9n^2-1+1}{3n-1}$

$\frac{9n^2}{3n-1}$

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示例问题3:合理简化表达式

简化以下理性表达式:

$\frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

可能的答案:

$\frac{y}{x}$

$\frac{1}{x}$

$\frac{x}{y}$

正确答案:

解释：

首先将分母中的项组合起来:

$\frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{1}{x}+\frac{1}{y}}$

$\frac{\frac{x+y}{x}}{\frac{x+y}{xy}}$

乘以分母的倒数:

$\frac{x+y}{x} \cdot \frac{xy}{x+y}$

删除条款:

$\frac{\mathbf{x+y}}{\mathbf{x}} \cdot \frac{\boldsymbol{x}y}{\mathbf{x+y}}$

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示例问题4:合理简化表达式

简化以下理性表达式:

$\frac{n+5+\frac{3}{n+1}}{n-1-\frac{3}{n+1}}$

可能的答案:

$\frac{n+3}{n-1}$

$\frac{n+4}{n-2}$

$\frac{n+3}{n-2}$

$\frac{n+4}{n-1}$

正确答案:

$\frac{n+4}{n-2}$

解释：

创建公分母 (n+1) 分子和分母都是:

$\frac{n+5+\frac{3}{n+1}}{n-1-\frac{3}{n+1}}$

$\frac{\frac{(n+5)(n+1)+3}{n+1}}{\frac{(n-1)(n+1)-3}{n+1}}$

乘以分母的倒数:

$\frac{(n+5)(n+1)+3}{n+1}\cdot \frac{n+1}{(n-1)(n+1)-3}$

简化:

$\frac{n^2+6n+8}{n+1}\cdot \frac{n+1}{n^2-4}$

$\frac{(n+4)(n+2)}{n+1}\cdot \frac{n+1}{(n-2)(n+2)}$

删除常用术语:

$\frac{(n+4)\mathbf{(n+2)}}{\mathbf{n+1}}\cdot \frac{\mathbf{n+1}}{(n-2)(\mathbf{n+2})}$

$\frac{n+4}{n-2}$

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示例问题5:合理简化表达式

将下列有理表达式相乘并简化:

$\frac{a^3-b^3}{b^2-a^2} \cdot \frac{a+b}{a^2+ab+b^2}$

可能的答案:

正确答案:

解释：

因子的表达式:

$\frac{(a-b)(a^2+ab+b^2)(a+b)}{(b-a)(b+a)(a^2+ab+b^2)}$

删除条款:

$\frac{(a-b)(\mathbf{a^2+ab+b^2})(\mathbf{a+b})}{(b-a)(\mathbf{b+a})(\mathbf{a^2+ab+b^2})}$

$\frac{a-b}{b-a}=\frac{-1(b-a)}{b-a}=-1$

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示例问题6:合理简化表达式

将下列理性表达式进行划分和简化:

$\frac{x^2-11x+24}{x^2-18x+80}\div \frac{x^2-9x+20}{x^2-15x+50}$

可能的答案:

$\frac{x-4}{x-5}$

$\frac{x-4}{x-3}$

$\frac{x-5}{x-4}$

$\frac{x-3}{x-4}$

$\frac{x-3}{x-5}$

正确答案:

$\frac{x-3}{x-4}$

解释：

乘以分母的倒数

$\frac{x^2-11x+24}{x^2-18x+80}\div \frac{x^2-9x+20}{x^2-15x+50}$

$\frac{x^2-11x+24}{x^2-18x+80}\cdot \frac{x^2-15x+50}{x^2-9x+20}$

因素:

$\frac{(x-8)(x-3)}{(x-8)(x-10)}\cdot \frac{(x-5)(x-10)}{(x-5)(x-4)}$

删除条款:

$\frac{(\mathbf{x-8})(x-3)}{(\mathbf{x-8})(\mathbf{x-10})}\cdot \frac{(\mathbf{x-5})(\mathbf{x-10})}{(\mathbf{x-5})(x-4)}$

$\frac{x-3}{x-4}$

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例子问题1:解有理方程和不等式

求解以下理性表达式:

$\frac{y}{y-3}+\frac{6}{y+3}=1$

可能的答案:

$y=\frac{1}{2}$

y=1

$y=\frac{1}{3}$

y=2

y=3

正确答案:

y=1

解释：

方程乘以 (y-3)(y+3) ：

$\frac{y}{y-3}+\frac{6}{y+3}=1$

y(y+3)+6(y-3)=1(y-3)(y+3)

y^2+3y+6y-18 = y^2-9

9y=9

y=1

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