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高中数学:求函数的二阶导数

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例子问题

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问题41:微积分I -导数

它的二阶导数是什么 $2x^4+\frac{1}{2}x$ ?

可能的答案:

$24x^{2}+\frac{1}{2x}$

$24x^{2}$

$24x^{-2}$

正确答案:

$24x^{2}$

解释：

要求二阶导，我们需要从一阶导开始。

要对这个方程求导，我们可以用幂法则。幂法则说的是，我们把每个变量的指数降低1，然后把这个数字乘以原来的指数。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(4*2x^{4-1})+(1*\frac{1}{2}x^{1-1})$

简化。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(4*2x^{3})+(\frac{1}{2}x^{0})$

记住，任何数的0次方都等于1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=(8x^{3})+(\frac{1}{2}*1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x^4+\frac{1}{2}x)=8x^{3}+\frac{1}{2}$

现在我们重复这个过程，但是使用 $8x^3+\frac{1}{2}$ 就像我们的表达式。

我们要治疗 $\frac{1}{2}$ 作为 $\frac{1}{2}x^0$ 因为任何数的0次方都等于1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x^{3}+\frac{1}{2})=(3*8x^{3-1})+(0*\frac{1}{2}x^{0-1})$

请注意, $(0*\frac{1}{2}x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x^{3}+\frac{1}{2})=(3*8x^{2})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x^{3}+\frac{1}{2})=24x^{2}$

例子问题1:求函数的二阶导数

它的二阶导数是什么 3x+12 ?

可能的答案:

x+8

$\frac{3}{2}x^2$

未定义的

正确答案:

解释：

要求二阶导，我们需要从一阶导开始。

要对这个方程求导，我们可以用幂法则。幂法则说的是，我们把每个变量的指数降低1，然后把这个数字乘以原来的指数。

我们要治疗作为 12x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=(3x^{1-1})+(0*12x^{0-1})$

请注意, $(0*12x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=(3x^{1-1})$

简化。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=(3x^{0})$

如前所述，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=3*1$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x+12)=3$

现在我们重复这个过程，但是使用,或 3x^0 ，作为我们的表达。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^0)=0*3x^{0-1}$

如前所述，任何数乘以0都是0。

因此, $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^0)=0$ ．

问题43:微积分I -导数

它的二阶导数是什么 5x^2+12x ?

可能的答案:

10x+12

正确答案:

解释：

为了求二阶导数，首先我们需要从一阶导数开始。

为了求一阶导数，我们可以用幂法则。我们把所有变量的指数都降低1，然后乘以原来的变量。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=(2*5x^{2-1})+(1*12x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=(2*5x^{1})+(1*12x^{0})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x^1+12x^0$

任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x^1+12(1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(5x^2+12x)=10x+12$

现在我们重复这个过程 10x+12 就像我们的表达式。

我们要治疗作为 12x^0 ．

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=(1*10x^{1-1})+(0*12x^{0-1})$

请注意, $(0*12x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=(1*10x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=(10x^{0})$

如前所述，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=10(1)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(10x+12)=10$

例子问题1:求函数的二阶导数

它的二阶导数是什么 -8x^2+15 ?

可能的答案:

16x

正确答案:

解释：

为了求二阶导，我们先求一阶导。

为了求一阶导数，我们可以用幂法则。我们把所有变量的指数都降低1，然后乘以原来的变量。

我们要治疗作为 15x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=(2*-8x^{2-1})+(0*15x^{0-1})$

请注意, $(0*15x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=(2*-8x^{1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-8x^2+15)=-16x$

现在我们重复这个过程，但是使用 -16x 就像我们的表达式。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-16x)=1*-16x^{1-1}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-16x)=-16x^{0}$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(-16x)=-16$

问题45:微积分I -导数

它的二阶导数是什么 x^3+2x^2+5 ?

可能的答案:

$\frac{2}{3}x+\frac{1}{4}$

6x+4

3x^2+4x

正确答案:

6x+4

解释：

为了求二阶导，我们需要先求一阶导。

为了求一阶导数，我们可以用幂法则。为此，我们将变量的指数降低1，然后乘以原来的指数。

我们要治疗作为 5x^0 因为任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^3+2x^2+5)=(3*x^{3-1})+(2*2x^{2-1})+(0*5x^{0-1})$

请注意, $(0*5x^{0-1}) =0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^3+2x^2+5)=(3*x^{3-1})+(2*2x^{2-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^3+2x^2+5)=(3*x^{2})+(2*2x^{1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x^3+2x^2+5)=3x^2+4x$

现在我们重复这个过程，但是使用 3x^2+4x 就像我们的表达式。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^2+4x)=(2*3x^{2-1})+(1*4x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^2+4x)=(2*3x^{1})+(1*4x^{0})$

记住，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^2+4x)=(6x)+(4(1))$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(3x^2+4x)=6x+4$

例子问题1:求函数的二阶导数

它的二阶导数是什么 $4x^2+\frac{2}{3}x$ ?

可能的答案:

$8x+\frac{2}{3}$

正确答案:

解释：

为了求二阶导，我们需要先求一阶导。

为了求这个问题的一阶导数，我们可以用幂法则。幂次法则是指，我们将每个变量的指数降低1，然后乘以原来的指数。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4x^2+\frac{2}{3}x)=(2*4x^{2-1})+(1*\frac{2}{3}x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4x^2+\frac{2}{3}x)=(2*4x^{1})+(1*\frac{2}{3}x^{0})$

记住，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4x^2+\frac{2}{3}x)=(8x)+(1*\frac{2}{3}(1))$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4x^2+\frac{2}{3}x)=8x+\frac{2}{3}$

现在我们重复这个过程，但是我们用 $8x+\frac{2}{3}$ 就像我们的表达式。

对于这个问题，我们会这样说 $\frac{2}{3}=\frac{2}{3}x^0$ 因为，如前所述，任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x+\frac{2}{3})=(1*8x^{1-1})+(0*\frac{2}{3}x^{0-1})$

请注意, $(0*\frac{2}{3}x^{0-1})=0$ 因为任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x+\frac{2}{3})=(1*8x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x+\frac{2}{3})=(8x^{0})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x+\frac{2}{3})=8$

问题51:微积分I -导数

它的二阶导数是什么 (x+6)^2 ?

可能的答案:

2x+12

$\frac{1}{2}$

6x+12

正确答案:

解释：

为了求二阶导数，我们需要从一阶导数开始。

为了求出一阶导数，我们要用链式法则。链式法则说的是，当对一个嵌套函数求导时，答案是外部的导数乘以内部的导数。

从数学上讲，它看起来是这样的: $\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}f(g(x))=f'(g(x))*g'(x)$

代入方程。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+6)^2=(2(x+6)^{1})*(1+0)$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+6)^2=(2(x+6))$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(x+6)^2=2x+12$

从这里，我们可以用幂法则求二阶导数。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x+12)=(1*2x^{1-1})+(0*12x^{0-1})$

任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x+12)=(1*2x^{1-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x+12)=(2x^{0})$

任何数的0次方都是1。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(2x+12)=2$

问题52:微积分I -导数

它的二阶导数是什么 4x^2+5x-3 ?

可能的答案:

y=16x

y=8x

y=32x+5x^2

y=8

y=3

正确答案:

y=8

解释：

为了求二阶导，我们需要先求一阶导。为了求一阶导数，我们可以用幂法则。

对于每个变量，乘以指数，指数减1:

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4x^2+5x-3)=(2*4x^{2-1})+(1*5x^{1-1})-(0*3x^0-1)$

治疗作为 3x^0 因为任何数的0次方都是1。

记住，任何数乘以0都是0。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4x^2+5x-3)=(8x^{1})+(5x^{0})-0$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(4x^2+5x-3)=8x+5$

现在按照同样的过程，但是 8x+5 ．

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x+5)=(1*8x^{1-1})+(0*5x^{0-1})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x+5)=(1*8x^{0})$

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}(8x+5)=8$

因此二阶导数就是直线 y=8 ．

问题#667:衍生品

让 f(x)=sin(x)-cos(x) ．

求的二阶导数 f(x) ．

可能的答案:

f''(x)=cos(x)-sin(x)

f''(x)=sin(x)-cos(x)

f''(x)=sin(x)+cos(x)

f''(x)=sin^2(x)-cos^2(x)

f''(x)=sin^2(x)+cos^2(x)

正确答案:

f''(x)=cos(x)-sin(x)

解释：

二阶导数就是一阶导数的导数。首先求一阶导数 f(x) ．还记得导数 $\sin x$ 是 $\cos x$ 的导数 $\cos x$ 是 $-\sin x$ ．

f'(x)= cos(x)+sin(x)

然后求二阶导数，我们只需要对这个函数再次求导。所以

f''(x)=-sin(x)+cos(x)=cos(x)-sin(x)

例子问题2:求函数的二阶导数

定义 $f (x) = 6x^{3} - 12x^{2} + 4x -8$ ．

是什么 f ' ' (x) ?

可能的答案:

f ''(x) = 18x - 24

f ' '(x) = 36x

f ' '(x) = 36x - 24

f ' '(x) = 18

f ' '(x) = 6x - 1 2

正确答案:

f ' '(x) = 36x - 24

解释：

求导数的，然后求导．

$f (x) = 6x^{3} - 12x^{2} + 4x -8$

$f '(x) = 3 \cdot 6x^{3-1} - 2 \cdot 12x^{2-1} + 4 -0$

$f '(x) = 18x^{2} - 24x+ 4$

$f ' '(x) = 2 \cdot 18x^{2-1} - 24+ 0$

f ' '(x) = 36x - 24

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