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高中数学:在一点上求导

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例子问题

问题2091:高中数学

找到 $f^{'}(2)$ 如果函数 f(x) 是由

f(x) = ln(x)

可能的答案:

$\frac{1}{2}$

$\frac{3}{2}$

正确答案:

$\frac{1}{2}$

解释：

求的导数 x=2 ，我们先求导 f(x) ．根据对数求导法则，

$f'(x) = \frac{1}{x}$

插入 x=2 ，我们得到

$f'(2) = \frac{1}{2}$

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例子问题2:一般衍生品及规则

求出下面函数在这一点的导数 x=3 ．

f(x) = 4x^3+x+3

可能的答案:

106

110

107

109

108

正确答案:

109

解释：

对多项式的每一项使用幂法则求导数，

f'(x) = (3)(4)x^2+1

现在我们代入 x=3

f'(3) = (12)(3)^2 + 1 = 109

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例子问题1:求A点导数

让 $f(x)=x^2\sin(x^2)$ ．是什么 $f'\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2} \right )$ ?

可能的答案:

$\frac{{2\pi}(\sqrt{\pi} + 2)}{4}$

$\frac{\sqrt{2\pi}(\pi + 4)}{8}$

$\frac{\sqrt{2\pi}(\pi + 2)}{4}$

$\frac{(\pi + \sqrt{2})}{8}$

$\frac{\sqrt{2\pi}(\pi + \sqrt{2})}{4}$

正确答案:

$\frac{\sqrt{2\pi}(\pi + 4)}{8}$

解释：

我们要求f(x)的一阶导数。这就要求我们同时应用乘积法则和链式法则。当我们应用乘法法则时，我们得到:

$f'(x)=\sin(x^2)\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[x^2]+x^2\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[\sin(x^2)]$

为了求出的导数 $\sin(x^2)$ ，我们将需要使用链式法则。

$\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[\sin(x^2)]=\cos(x^2)\cdot\frac{\mathrm{d} }{\mathrm{d} x}[x^2]=\cos(x^2)\cdot2x$

$f'(x)=\sin(x^2)\cdot2x + x^2\cdot\cos(x^2)\cdot2x$

我们可以提出2x让它看起来更好看。

$f'(x)=2x(\sin(x^2)+x^2\cos(x^2))$

现在我们必须求x =时的导数 $\frac{\sqrt{\pi}}{2}$ ．

$f'\left (\frac{\sqrt{\pi}}{2} \right )=2\cdot\frac{\sqrt{\pi}}{2}(\sin\frac{\pi}{4}+\frac{\pi}{4}\cos\frac{\pi}{4})$

$=\sqrt{\pi}(\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\pi\sqrt{2}}{8})=\sqrt{2\pi}(\frac{1}{2}+\frac{\pi}{8})=\frac{\sqrt{2\pi}(\pi + 4)}{8}$

答案是 $\frac{\sqrt{2\pi}(\pi + 4)}{8}$ ．

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